Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Nếu (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q:

- Số hạng tổng quát: u_n = u₁ ⋅ q^{n – 1}, n ≥ 2.

- Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (u_n)² = u_{n – 1} ⋅ u_n+1, n ≥ 2.

- Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

+ Với q ≠ 1: ${\text{S}}_{\text{n}}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}\left(1-{\text{q}}^{\text{n}}\right)}{1-\text{q}}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}\left({\text{q}}^{\text{n}}-1\right)}{\text{q}-1}$.

+ Với q = 1: S_n = n ⋅ u₁.

Chú ý: Nếu (u_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ và công bội q thì tổng của cấp số nhân là $\text{S}=\frac{{\text{u}}_1}{1-\text{q}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_4-{\text{u}}_2=50\\ {\text{u}}_3-{\text{u}}_1=25\end{array}\right.$.

a) Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số nhân.

b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.

c) Tính tổng 90 số hạng đầu của cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_4-{\text{u}}_2=50\\ {\text{u}}_3-{\text{u}}_1=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^3-{\text{u}}_1\cdot \text{q}=50\\ {\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^2-{\text{u}}_1=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1\cdot {\text{q(q}}^2-1)=50\\ {\text{u}}_1\cdot ({\text{q}}^2-1)=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{q}=2\\ {\text{u}}_{\text{1}}=\frac{25}{3}\end{array}\right.$

Vậy số hạng đầu u₁ = $\frac{25}{3}$ , công sai q = 2.

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{25}{3}\cdot 2^{\text{n}-1}$.

c) Tổng 90 số hạng đầu của cấp số nhân:

${\text{S}}_{90}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}\left(1-{\text{q}}^{\text{n}}\right)}{1-\text{q}}=\frac{\frac{25}{3}\left(1-2^{90}\right)}{1-2}\approx -1,03\cdot {10}^{28}$

Ví dụ 2.

a) Tính tổng $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\mathrm{.......}+\frac{1}{3^{15}}$.

b) Tính tổng của cấp số nhân có 6 số hạng biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_2-{\text{u}}_4+{\text{u}}_5=66\\ {\text{u}}_3-{\text{u}}_5+{\text{u}}_6=-132\end{array}\right.$.

c) Cho cấp số nhân (u_n) có u₄ = 64, u₅ = 128. Tìm u₆.

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy dãy số trên là một cấp số nhân có 15 số hạng với số hạng đầu ${\text{u}}_1=\frac{1}{3}$ và công sai $\text{q}=\frac{1}{3}$.

Tổng dãy số trên là: $\text{S}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{15}\right)}{1-\frac{1}{3}}\approx 0,5$

b) $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_2-{\text{u}}_4+{\text{u}}_5=66\\ {\text{u}}_3-{\text{u}}_5+{\text{u}}_6=-132\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1\cdot \text{q}-{\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^3+{\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^4=63\\ {\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^2-{\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^4+{\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^5=-126\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1\cdot \text{q(1}-{\text{q}}^2-{\text{q}}^3)=63\\ {\text{u}}_1\cdot {\text{q}}^2\text{(1}-{\text{q}}^2-{\text{q}}^3)=-126\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{q}=-2\\ {\text{u}}_{\text{1}}=-\frac{63}{10}\end{array}\right.$

Tổng 6 số hạng của cấp số nhân đã cho là:

$\text{S}=\frac{\frac{-63}{10}\left(1-{\left(-2\right)}^6\right)}{1+2}=\frac{1323}{10}$.

c) Vì (u_n) nên ta có (u₅)² = u₄ ⋅ u₆.

$\Rightarrow {\text{u}}_{\text{6}}=\frac{{{\text{(u}}_5)}^2}{{\text{u}}_{\text{4}}}=\frac{{128}^2}{64}=256$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n) $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_{\text{4}}=81{\text{u}}_{\text{8}}\\ {\text{u}}_3=\frac{1}{3}\end{array}\right.$. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1+{\text{u}}_5=51\\ {\text{u}}_2+{\text{u}}_{\text{6}}=102\end{array}\right.$.

Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân dương (u_n) biết công bội q bằng $\frac{1}{4}$ số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24.

Bài 4. Cho cấp số nhân có 8 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6, số hạng thứ 8 gấp 729 lần số hạng thứ hai. Tính tổng của cấp số nhân đó.

Bài 5. Cho một cấp số nhân có 10 số hạng với công bội âm, biết số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư 6. Tính tổng cấp số nhân đó.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

• Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số

• Một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số

• Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

• Công thức dãy số tăng, dãy số giảm

---