Công thức Giới hạn cơ bản của hàm số lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức giới hạn cơ bản của hàm số lớp 11 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về các giới hạn của hàm số từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Ta có một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số như sau:

- $\underset{\text{x}\to {\text{x}}_{\text{0}}}{\lim }\text{x}={\text{x}}_{\text{0}}$ .

-$\underset{\text{x}\to {\text{x}}_{\text{0}}}{\lim }\text{c}=\text{c}$ (c là hằng số).

- $\underset{\text{x}\to \pm \infty }{\lim }\text{c}=\text{c}$ > (c là hằng số).

-$\underset{\text{x}\to \pm \infty }{\lim }\frac{\text{c}}{\text{x}}=0$ (c là hằng số).

-$\underset{\text{x}\to +\infty }{\lim }{\text{x}}^{\text{k}}=+\infty$ , với k nguyên dương.

- $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }{\text{x}}^{\text{k}}=-\infty$ , nếu k là số lẻ.

-$\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }{\text{x}}^{\text{k}}=+\infty$ , nếu k là số chẵn.

- $\underset{\text{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{\text{x}}=-\infty$ .

-$\underset{\text{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\text{x}}=+\infty$ .

- $\underset{\text{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{\left|\text{x}\right|}=\underset{\text{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\left|\text{x}\right|}=+\infty$ .

- $\underset{\text{x}\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{{\text{x}}^k}=0$ , với k nguyên dương.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{x}\to \text{3}}{\lim }(3{\text{x}}^2-3\text{x}+1)$ .

b) $\underset{\text{x}\to 10}{\lim }100$ .

c) $\underset{\text{x}\to +\infty }{\lim }{\text{(x}}^2+1)$ .

d) $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{2{\text{x}}^2+5\text{x}+3}{{\text{x}}^2-1}$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\underset{\text{x}\to \text{3}}{\lim }(3{\text{x}}^2-3\text{x}+1)=3\cdot 3^2-3\cdot 3+1=19$ .

b) $\underset{\text{x}\to 10}{\lim }100=100$.

c) $\underset{\text{x}\to +\infty }{\lim }{\text{(x}}^2+1)=\underset{\text{x}\to +\infty }{\lim }{\text{x}}^2\left(1+\frac{1}{{\text{x}}^2}\right)=+\infty$ .

d) $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{2{\text{x}}^2-5\text{x}+3}{{\text{x}}^2-1}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{(2\text{x}-3)(\text{x}-1)}{\text{(x}-1\left)\text{(x +}1\right)}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{2\text{x}-3}{\text{x +}1}=\frac{2\cdot 1-3}{1+1}=\frac{-1}{2}$ .

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\text{(}-{\text{x}}^3+\text{x})$ .

b) $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\sqrt{{\text{x}}^2-4\text{x}+10}$ .

c) $\underset{\text{x}\to {\text{4}}^{+}}{\lim }\frac{3\text{x}-9}{\text{x}-4}$ .

Hướng dẫn giải:

a)Ta có $-{\text{x}}^3+\text{x}={\text{x}}^3\left(-1+\frac{\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}}\right)$ .

Vì $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }{\text{x}}^3=-\infty ,\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\left(-1+\frac{1}{{\text{x}}^2}\right)=-1<0$ .

Do đó

$\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }{\text{x}}^3\left(-1+\frac{1}{{\text{x}}^2}\right)=+\infty$  hay $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\text{(}-{\text{x}}^3+\text{x})=+\infty$ .

b) Ta có x² – 4x + 10 > 0 với mọi x nên $\sqrt{{\text{x}}^2-4\text{x}+10}$ xác định trên ℝ.

$\sqrt{{\text{x}}^2-4\text{x}+10}=\left|\text{x}\right|\sqrt{1-\frac{4}{\text{x}}+\frac{10}{{\text{x}}^2}}$.

$\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\left|\text{x}\right|=+\infty ,\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{4}{\text{x}}+\frac{10}{{\text{x}}^2}}=1>0$.

Do đó

$\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\left|\text{x}\right|\sqrt{1-\frac{4}{\text{x}}+\frac{10}{{\text{x}}^2}}=+\infty$  hay $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\sqrt{{\text{x}}^2-4\text{x}+10}=+\infty$

c) Biểu thức $\frac{3\text{x}-9}{\text{x}-4}$ xác định trên ℝ \{4}.

Ta có limx→4+(x−4)=0,    x−4>0   ∀x>4,   limx→4+(3x−9)=3⋅4−9=3>0.

Do đó $\underset{\text{x}\to {\text{4}}^{+}}{\lim }\frac{3\text{x}-9}{\text{x}-4}=+\infty$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{x}\to +\infty }{\lim }\frac{2024}{2{\text{x}}^2-4{\text{x}}^{\text{3}}}$ .

b) $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }(2{\text{x}}^5+{\text{x}}^3-12{\text{x}}^2+101)$ .

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{1-\text{x}}{{\text{x}}^2-1}$ .

b) $\underset{\text{x}\to 4}{\lim }\frac{2-\text{x}}{{\left(\text{x}-4\right)}^2}$ .

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\left|\frac{1}{\text{x}-1}\right|$ .

b) $\underset{\text{x}\to 2}{\lim }\frac{{\text{x}}^2-4}{{\text{x}}^2-3\text{x}+2}$ .

Bài 4. Biết $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\frac{{\text{x}}^3-3\text{x}+1}{5-2\text{x}}=\text{a,}\underset{\text{x}\to 2^{-}}{\lim }\frac{{\text{3x}}^2\text{+ x}-1}{{\text{2x}}^2-\text{ 5x +2}}=\text{b}$ . Tính a ⋅ b.

Bài 5. Biết $\underset{\text{x}\to -\infty }{\lim }\frac{{\text{x}}^3-3\text{x}+1}{5-2\text{x}}=\text{a,}\underset{\text{x}\to 2^{-}}{\lim }\frac{{\text{3x}}^2\text{+ x}-1}{{\text{2x}}^2-\text{ 5x +2}}=\text{b}$ . So sánh a và b.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

• Công thức dãy số tăng, dãy số giảm

• Công thức dãy bị chặn

• Công thức để dãy số là cấp số cộng

• Công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

---