Công thức để dãy số là cấp số cộng lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức để dãy số là cấp số cộng lớp 11 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định một dãy số là cấp số cộng từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

- Cho dãy số (u_n), n ∈ ℕ^*. Xét hiệu u_n+1 – u_n:

+ Nếu u_n+1 – u_n = k (k là hằng số) thì (u_n) là cấp số cộng với công sai d = k.

+ Nếu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

- (u_n) là cấp số cộng khi và chỉ khi u_n-1 + u_n+1 = 2u_n, n ≥ 2.

- Ngoài ra, để chứng minh dãy số (u_n) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: u_­k+1 – u_k ≠ u_k – u_k-1.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

a) (u_n) với u_n = 2n + 4.

b) (u_n) với u_n = (– 1)ⁿ + n.

c) (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}-1}{2\mathrm{n}+3}$ .

d) (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}}{2}-1$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có u_n+1 = 2(n + 1) + 4 = 2n + 6.

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 2n + 6 – 2n – 4 = 2 không phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) là cấp số cộng.

b) u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ + n + 1.

Xét hiệu u_n+1 – u_n = (– 1)ⁿ⁺¹ + n + 1 – (–1)ⁿ  – n = (–1)ⁿ⁺¹ – (–1)ⁿ + 1 phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) không là cấp số cộng.

c) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\frac{\text{n+1}-1}{2(\mathrm{n}+\text{}1)+3}=\frac{\text{n}}{\text{2n + 5}}$.

Xét hiệu ${\text{u}}_{\text{n+1}}-{\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}}{\text{2n + 5}}-\frac{\text{n}-1}{\text{2n + 3}}=\frac{{\text{2n}}^2\text{ + 3n}-{\text{2n}}^2+2\text{n}-5\text{n}+5}{\left(\text{2n + 5}\right)\left(\text{2n + 3}\right)}$

$=\frac{5}{\left(\text{2n + 5}\right)\left(\text{2n + 3}\right)}$phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) không là cấp số cộng.

d) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\frac{\text{n+1}}{2}-1$.

Xét hiệu ${\text{u}}_{\text{n+1}}-{\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n+1}}{2}-1-\frac{\text{n}}{2}+1=\frac{1}{2}$ không phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) là cấp số cộng.

Ví dụ 2.

a) Tìm số dương a để 10 – a, 2a² + 3, 5 – 4a lập thành cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng có các số hạng –6, x, 10, y. Tính 2x – y.

Hướng dẫn giải:

a) Để 10 – a, 2a² + 3, 5 – 4a lập thành cấp số cộng thì 2(2a² + 3) = (10 – a) + (5 – 4a).

⇔ 4a² + 6 = 15 – 5a.

⇔ 4a² + 5a – 9 = 0.

⇔ $\left[\begin{array}{l}\text{a}=1\\ \text{a}=\frac{-9}{4}\end{array}\right.$.

Vì a > 0 nên a = 1.

Vậy a = 1 thì 10 – a, 2a² + 3, 5 – 4a lập thành cấp số cộng.

b) Vì –6, x, 10, y là các số hạng trong cấp số cộng nên ta có:

+) 2x = –6 + 10 ⇔ x = 2.

+) 2 ⋅ 10 = x + y ⇔ 20 = 2 + y ⇔ y = 18.

Vậy 2x – y = 4 – 18 = –14.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

a) (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\left(\frac{3\text{n}+2}{2}\right)\cdot \text{n}$ 

b) (u_n) với u_n = 8 – 5n.

c) (u_n) với u_n = 7 ⋅ 2ⁿ.

Bài 2. Tìm m để ba số u₁ = –2m, u₂ = 2m² – 1, u₃ = 2m + 1 lập thành cấp số cộng.

Bài 3. Tìm mối liên hệ giữa a và b biết a, b, a + b lập thành cấp số cộng.

Bài 4. Tìm x biết 1 – x, x², x + 1 lập thành cấp số cộng.

Bài 5. Biết 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. So sánh x²⁰²² với 1.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức để dãy số là cấp số nhân

• Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

• Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số

---