Công thức để dãy số là cấp số nhân lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức để dãy số là cấp số nhân trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định một dãy số là cấp số nhân từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

- Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân hoặc không là cấp số nhân, ta có thể sử dụng một trong các cách sau đây:

Cách 1. Chứng minh được ∀n ≥ 1: u_n+1 = u­_n q, trong đó q là một số không đổi thì (u_n) là một cấp số nhân với công bội q.

Cách 2. Cho dãy số (u_n) gồm các số khác 0. Xét tỉ số $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}$:

+ Nếu $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\text{k}$ (k là hằng số) thì (u_n) là cấp số nhân với công bội q = k.

+ Nếu $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}$  phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số nhân.

-  Ngoài ra, với một dãy số (u_n), ta có thể chứng minh dãy số đó không phải là cấp số nhân nếu tồn tại số k ≥ 2 sao cho  (trong điều kiện phân thức/phân số có nghĩa). 

- Chú ý: (u_n) là cấp số nhân khi và chỉ khi u_n-1 ⋅ u_n+1 = (u_n)², n ≥ 2.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) u_n = 2ⁿ.

b) u_n = 3^{n – 1}.

c) u_n = 2n + 1.

d) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}-1}{\text{n}+1}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có u_n+1 = 2ⁿ⁺¹.

Vì u_n > 0 với mọi n nên ta xét tỉ số $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{2^{\text{n}+1}}{2^{\text{n}}}=2$ không phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) là cấp số nhân.

b) Ta có u_n+1 = 3^{n+1 – 1} = 3ⁿ.

Vì u_n > 0 với mọi n nên ta xét tỉ số $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{3^{\text{n}}}{3^{\text{n-1}}}=3$ không phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) là cấp số nhân.

c) Ta có u_{n + 1} = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.

Xét tỉ số $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{\text{2n + 3}}{\text{2n + 1}}=1+\frac{2}{\text{2n + 1}}$ phụ thuộc vào n.

Vậy (u_n) không là cấp số nhân.

d) Ta có ${\text{u}}_1=\frac{1-1}{1+1}=0$,${\text{u}}_2=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$,${\text{u}}_3=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$.

${\text{u}}_1\cdot {\text{u}}_3=0\cdot \frac{1}{2}=0\ne {\left({\text{u}}_2\right)}^2$

Vậy (u_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 2.

a) Tìm a biết 5, a, 125 lập thành cấp số nhân.

b) Tìm hai số a và b, biết a + 6b, 5a + 2b, 8a + b là cấp số cộng và a – 1, b + 2, a – 3b là cấp số nhân.

c) Tìm hai số a và b, biết 1, a, b là cấp số nhân và 1, $\text{a}-\frac{1}{2}$, b là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Vì 5, a, 125 lập thành cấp số nhân nên a² = 5 ⋅ 125 = 625.

$\Rightarrow \text{a}=\sqrt{625}=25$

b) Vì a + 6b, 5a + 2b, 8a + b là cấp số cộng nên ta có a + 6b + 8a + b = 2(5a + 2b).

⇔ a – 3b = 0 ⇔ a = 3b.

Lại có a – 1, b + 2, a – 3b là cấp số nhân nên (b + 2)² = (a – 1)(a – 3b).

⇔ a² – b² – 3ab – a – b – 4 = 0 (*).

Thay a = 3b vào (*) ta được:

(3b)² – b² – 3 ⋅ 3b ⋅ b – 3b – b – 4 = 0

⇔ b² + 4b + 4 = 0

⇔ b = –2.

⇒ a = 3 ⋅ (–2) = –6.

Vậy a = –6, b = – 2.

c) Vì 1, a, b là cấp số nhân nên a² = b.                 (1)

Lại có 1,$\text{a}-\frac{1}{2}$, b là cấp số cộng nên b = 2$\left(\text{a}-\frac{1}{2}\right)$        (2)

Từ (1) và (2) ta có a² = 2$\left(\text{a}-\frac{1}{2}\right)$ ⇔ a² – 2a + 1 = 0 ⇔ a = 1.

⇒ b = a² = 1² = 1.

Vậy a = b = 1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân:

a) (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=2^{\frac{\text{n}}{\text{3}}+1}$.

b) (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{4^{\text{n}-1}}$ .

c) (u_n) với u_n = n² + 2n + 1.

Bài 2. Tìm m để ba số u₁ = 3 + m, u₂ = 2m, u₃ = 2 – m lập thành cấp số nhân.

Bài 3. Tìm a và b biết a, b, a + b lập thành cấp số cộng và a, 3b – 2a, 3a + 2b lập thành cấp số nhân.

Bài 4. Tìm x biết x, 2x, x + 3 lập thành cấp số nhân.

Bài 5. Biết 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính tổng các giá trị tìm được của x.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

• Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số

• Một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số

• Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

---