Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số lớp 11 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Định lí về giới hạn hữu hạn

- Nếu$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{a}$ và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=\text{b}$ thì:

+)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}+{\text{v}}_{\text{n}})=\text{a}+\text{b}$.

+) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}-{\text{v}}_{\text{n}})=\text{a}-\text{b}$.

+) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}\cdot {\text{v}}_{\text{n}})=\text{a}\cdot \text{b}$.

+) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{u}}_{\text{n}}}{{\text{v}}_{\text{n}}}=\frac{\text{a}}{\text{b}}(\text{b}\ne 0)$.

- Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{a}$ thì: a ≥ 0,$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\sqrt{{\text{u}}_{\text{n}}}=\sqrt{\text{a}}$ .

b) Một số giới hạn cơ bản của dãy số

- Giới hạn hữu hạn của dãy số:

+) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\text{1}}{{\text{n}}^{\text{k}}}=\text{0}$ với k nguyên dương.

+)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{q}}^{\text{n}}=\text{0}$  nếu $\left|\text{q}\right|<1$.

+_ Nếu $\left|{\text{u}}_{\text{n}}\right|\le {\text{v}}_{\text{n}}$ với mọi n ≥ 1 và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=0$ thì $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=0$.

- Giới hạn vô cực của dãy số:

+)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{n}}^{\text{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

+)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{q}}^{\text{n}}=+\infty$ , với q > 1.

+) Nếu$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{a}$  và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=+\infty$ (hoặc$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=-\infty$  ) thì $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{u}}_{\text{n}}}{{\text{v}}_{\text{n}}}=0$ .

+) Nếu$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{a>0}$, $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=0$ và v_n > 0 với mọi n thì$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{u}}_{\text{n}}}{{\text{v}}_{\text{n}}}=+\infty$ .

+) Nếu$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{+}\infty$ và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=\text{a}>0$ $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}{\text{v}}_{\text{n}}=+\infty$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{(n}}^2-\text{n)}$.

b) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{\text{1}}{\text{n}}\right)}^3$ .

c) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\text{n}}^2+\text{n}+1}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ${\text{n}}^{\text{2}}-\text{n}={\text{n}}^2\left(1-\frac{\text{1}}{\text{n}}\right)$

Mà $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{n}}^2=+\infty ,\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{\text{n}}\right)=1$.

Do đó $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{(n}}^2-\text{n)= +}\infty$.

b) Ta có ${\left(\frac{\text{1}}{\text{n}}\right)}^3=\frac{\text{1}}{{\text{n}}^{\text{3}}}$.

Theo quy tắc ta có $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\text{1}}{{\text{n}}^3}=0$ .

c) Ta có

$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\text{n}}^2+\text{n}+1}$  =$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\text{1}}{{\text{n}}^{\text{2}}}}{\frac{{\text{n}}^2+\text{n}+1}{{\text{n}}^{\text{2}}}}=\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\text{1}}{{\text{n}}^{\text{2}}}}{1+\frac{1}{\text{n}}+\frac{1}{{\text{n}}^2}}=\frac{0}{1+0+0}=0$ 

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{8}\right)}^{\text{n}}$.

b) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{15}{2}\right)}^{\text{n+7}}$.

c) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{n}}^2+5\text{n}-12}{4{\text{n}}^3-12\text{n}-8}$.

d) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{8n}}^2+\text{n}-1}{{\text{n}}^2}$.

Hướng dẫn giải:

a)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{8}\right)}^{\text{n}}=0$ vì $\frac{3}{8}<1$ .

b)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{15}{2}\right)}^{\text{n+7}}=+\infty$ vì $\frac{15}{2}>1$.

c)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{n}}^2+5\text{n}-12}{4{\text{n}}^3-12\text{n}-8}=\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{{\text{n}}^2+5\text{n}-12}{{\text{n}}^{\text{3}}}}{\frac{4{\text{n}}^3-12\text{n}-8}{{\text{n}}^3}}=\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\text{n}}+\frac{5}{{\text{n}}^2}-\frac{12}{{\text{n}}^3}}{4-\frac{12}{{\text{n}}^2}-\frac{8}{{\text{n}}^3}}=\frac{0+0-0}{4-0-0}=0$

d)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{n}}^2+5\text{n}-12}{4{\text{n}}^3-12\text{n}-8}=\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{{\text{n}}^2+5\text{n}-12}{{\text{n}}^{\text{3}}}}{\frac{4{\text{n}}^3-12\text{n}-8}{{\text{n}}^3}}=\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\text{n}}+\frac{5}{{\text{n}}^2}-\frac{12}{{\text{n}}^3}}{4-\frac{12}{{\text{n}}^2}-\frac{8}{{\text{n}}^3}}=\frac{0+0-0}{4-0-0}=0$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{u}}_{\text{n}}=\text{8}$ và$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{v}}_{\text{n}}=-2$ , hãy tính:

a) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}+{\text{v}}_{\text{n}})$.

b) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}-{\text{v}}_{\text{n}})$.

c) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{u}}_{\text{n}}\cdot {\text{v}}_{\text{n}})$.

d) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{u}}_{\text{n}}}{{\text{v}}_{\text{n}}}$.

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{7^{\text{n}}}{6^{\text{n}}+{14}^{\text{n}}}$.

b)$\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }(7{\text{n}}^{\text{6}}+8{\text{n}}^{\text{3}}-{\text{n}}^{\text{2}}+5)$.

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }({\text{4}}^{\text{n}}-{\text{6}}^{\text{n}})$.

b) $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\text{n}+10}$.

Bài 4. Biết $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{\text{n}-3}{\text{n}+10}=\text{a}$, $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1-\text{n}}{{\text{n}}^2+6}=\text{b}$. Tính (a + b)²⁰²⁴.

Bài 5. Biết $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{3n}}^2-3}{{\text{n}}^2+\text{n}-1}=\text{a}$, $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{3}^{\text{n}}=\text{b}$. Tính a + b.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số

• Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

• Công thức dãy số tăng, dãy số giảm

• Công thức dãy bị chặn

• Công thức để dãy số là cấp số cộng

---