Công thức dãy bị chặn lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức dãy bị chặn lớp 11 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định điều kiện để một dãy số là dãy bị chặn từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

 Cho dãy số (u_n):

+ Nếu tồn tại một số thực M sao cho u_n ≤ M, n ∈ ℕ^* thì (u_n) là dãy số bị chặn trên.

+ Nếu tồn tại một số thực m sao cho u_n ≥ m, n ∈ ℕ^* thì (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

+ Nếu tồn tại hai số thực m và M sao cho m ≤ u_n ≤ M, n ∈ ℕ^* thì (u_n) là dãy số bị chặn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với:

a) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}+3}$ .

b) u_n = 4n² – 4n + 1.

c) u_n = 2ⁿ⁺¹.

Hướng dẫn giải:

a) Vì n ∈ ℕ^* nên n + 3 ≥ 4 ⇒ $\frac{1}{\mathrm{n}+3}\le \frac{1}{4}$.

⇒ ${\text{u}}_{\text{n}}\le \frac{1}{4}$.

Do đó, dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên bởi $\frac{1}{4}$.

Mặt khác, n ∈ ℕ^* nên n > 0, do đó ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}+3}>0$.

Khi đó, dãy số (u_n) là dãy số bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có u_n = 4n² – 4n + 1 = (2n – 1)².

Vì n ∈ ℕ^* nên 2n – 1 ≥ 1 ⇒ (2n – 1)² ≥ 1.

⇒ u_n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Vì n ∈ ℕ^* nên n + 1 ≥ 2 ⇒ 2ⁿ⁺¹ ≥ 2² = 4.

⇒ u_n ≥ 4.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với:

a) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{8\mathrm{n}-3}{\mathrm{n}+2}$ 

b) ${\text{u}}_{\text{n}}=\sqrt{\text{n}+8}$ 

c) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\sqrt{{\text{n}}^2+\text{n}+1}}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{8\mathrm{n}-3}{\mathrm{n}+2}=8-\frac{19}{\mathrm{n}+2}$.

Vì n ∈ ℕ^* nên n + 2 ≥ 3 ⇒ $-\frac{19}{\mathrm{n}+2}\ge -\frac{19}{3}\Rightarrow 8-\frac{19}{\mathrm{n}+2}\ge \frac{5}{3}$

⇒ ${\text{u}}_{\text{n}}\ge \frac{5}{3}$.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

b) Vì n ∈ ℕ^* nên n + 8 ≥ 9 $\Rightarrow \sqrt{\text{n}+8}\ge \sqrt{9}=3$ .

⇒ u_n ≥ 3.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Ta có ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\sqrt{{\text{n}}^2+\text{n}+1}}=\frac{1}{\sqrt{{\left(\text{n}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}}$

Vì n ∈ ℕ^* nên ${\left(\text{n}+\frac{1}{2}\right)}^2\ge \frac{9}{4}\Rightarrow {\left(\text{n}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge 3$

$\Rightarrow \sqrt{{\left(\text{n}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}\ge \sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{\left(\text{n}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ ${\text{u}}_{\text{n}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ 

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính bị chặn của các dãy số (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{{\mathrm{n}}^2+3\text{n +1}}{\mathrm{n}+1}$.

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{2^{\text{n}}}{\mathrm{n}!}$.

Bài 3. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.

Bài 4. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với 

               ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\mathrm{....}+\frac{1}{(2\text{n}-1)(2\text{n}+1)}$

Bài 5. Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{{(-1)}^{\text{n}-1}}{\mathrm{n}+1}.$

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức để dãy số là cấp số cộng

• Công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức để dãy số là cấp số nhân

• Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

---