Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) và công bội q (|q| < 1), ta có tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $\text{S}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}}{1-\text{q}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\mathrm{.......}$

b) $-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{2^2},-\frac{1}{2^3},\mathrm{.....}$

c) $\frac{1}{4},\frac{1}{4^2},\frac{1}{4^3},\mathrm{.......},\frac{1}{4^{\text{n}}},\mathrm{....}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy cấp số nhân đã cho có ${\text{u}}_{\text{1}}=\frac{1}{3},\text{q}=\frac{1}{3}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

                 $\text{S}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

b) Ta thấy cấp số nhân đã cho có ${\text{u}}_{\text{1}}=-2,\text{q}=-\frac{1}{2}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

                 $\text{S}=\frac{-2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{4}{3}$

c) Ta thấy cấp số nhân đã cho có ${\text{u}}_{\text{1}}=\frac{1}{4},\text{q}=\frac{1}{4}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

                 $\text{S}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$

Ví dụ 2.

a) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng $\frac{12}{5}$ và công bội $\text{q}=\frac{3}{4}$.

b) Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng 36 và số hạng tổng quát ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{-1^{\text{n}}}{{10}^{\text{n-1}}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\text{S}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}}{1-\text{q}}\Rightarrow \frac{12}{5}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}}{1-\frac{3}{4}}\Rightarrow {\text{u}}_{\text{1}}=\frac{3}{5}$.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là:

${\text{u}}_{\text{n}}={\text{u}}_{\text{1}}{\text{q}}^{\text{n-1}}=\frac{3}{5}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{\text{n-1}}$.

b) Ta có ${\text{u}}_1=\frac{-1^1}{{10}^{\text{1-1}}}=-1$.

Ta có $\text{S}=\frac{{\text{u}}_{\text{1}}}{1-\text{q}}\Rightarrow 36=\frac{-1}{1-\text{q}}\Rightarrow 1-\text{q}=\frac{-1}{36}\Rightarrow \text{q}=\frac{37}{36}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $-3,2,\frac{-4}{3},\frac{8}{9},\mathrm{....}$

Bài 2. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{\text{n}}$.

Bài 3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 100, số hạng đầu bằng 25. Tìm công bội q.

Bài 4. Cho cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng –375, công bội $\text{q}=\frac{1}{7}$. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân.

Bài 5. Cho cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 64, công bội $\text{q}=\frac{1}{2}$. Tính 2u₁ + u₂ – u₃.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số

• Một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số

• Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

• Công thức dãy số tăng, dãy số giảm

• Công thức dãy bị chặn

---