Công thức về phép tính lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số thực lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức về phép tính lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số thực trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức về phép tính lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số thực từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Với a ≠ 0, b ≠ 0 và m, n là các số nguyên, ta có:

+) a^m ⋅ aⁿ = a^m+n.

+) (a^m)ⁿ = a^m⋅n.

+) $\frac{{\text{a}}^{\text{m}}}{{\text{a}}^{\text{n}}}={\text{a}}^{\text{m-n}}\text{.}$

+) ${\left(\frac{\text{a}}{\text{b}}\right)}^{\text{m}}=\frac{a^m}{b^m}.$

+) (ab)^m = a^m ⋅ b^m.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Với số thực a dương và số hữu tỉ $\text{r}=\frac{\text{m}}{\text{n}}$, m là số nguyên, n là số nguyên dương. Ta có

${\text{a}}^{\text{r}}={\text{a}}^{\frac{\text{m}}{\text{n}}}=\sqrt[\text{n}]{{\text{a}}^{\text{m}}}.$

- Với n, k là các số nguyên dương và m là số nguyên, ta có:

+) $\sqrt[\text{n}]{\text{a}}\cdot \sqrt[\text{n}]{\text{b}}=\sqrt[\text{n}]{\text{ab}}.$

+) $\frac{\sqrt[\text{n}]{\text{a}}}{\sqrt[\text{n}]{\text{b}}}=\sqrt[\text{n}]{\frac{\text{a}}{\text{b.}}}$

+) ${\left(\sqrt[\text{n}]{\text{a}}\right)}^{\text{m}}=\sqrt[\text{n}]{{\text{a}}^{\text{m}}}.$

+) $\sqrt[\text{n}]{{\text{a}}^{\text{n}}}=\left\{\begin{array}{l}\text{a khi n lẻ}\\ \left|\text{a}\right|\text{khi n chẵn}\end{array}\right.$

+) $\sqrt[\text{n}]{\sqrt[\text{k}]{\text{a}}}=\sqrt[\text{nk}]{\text{a}}.$

c) Lũy thừa với số mũ thực

Với a là số thực dương và α là số vô tỉ. Ta có a^α = $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{a}}^{{\text{r}}_{\text{n}}}$ với (r_n) là dãy hữu tỉ mà $\underset{\text{n}\to +\infty }{\lim }{\text{r}}_{\text{n}}=\text{α}$.

* Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực và số mũ hữu tỉ có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\text{A}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{\frac{-4}{3}}$

b) $\text{B}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{0,75}-{64}^{\frac{-2}{3}}$

c) $\text{C}=\frac{3^5}{3^{-2}}+{36}^{0,5}-{\left(\frac{1}{16}\right)}^{\frac{3}{4}}$

Hướng dẫn giải:

a) $\text{A}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{\frac{-4}{3}}$

$\text{A}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2^2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3^3}\right)}^{\frac{-4}{3}}$

$\text{A}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4+{\left(3^{-3}\right)}^{\frac{-4}{3}}$

$\text{A}={\left(\frac{1}{2}\right)}^7+3^4$

$\text{A}=\frac{10369}{128}.$

b) $\text{B}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{0,75}-{64}^{\frac{-2}{3}}$

$\text{B}={\left(\frac{1}{3^4}\right)}^{\frac{3}{4}}-{\left(4^3\right)}^{\frac{-2}{3}}$

$\text{B}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-4^{-2}$

$\text{B}=\frac{-11}{432}.$

c) $\text{C}=\frac{3^5}{3^{-2}}+{36}^{0,5}-{\left(\frac{1}{16}\right)}^{\frac{3}{4}}$

$\text{C}=3^{5+2}+{\left(6^2\right)}^{\frac{1}{2}}-{\left(2^{-4}\right)}^{\frac{3}{4}}$

$\text{C}=3^7+6-2^{-3}$

$\text{C}=\frac{17543}{8}.$

Ví dụ 2. Cho biểu thức $\text{A}=\left(\frac{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}-{\text{m}}^{\frac{9}{4}}}{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}-{\text{m}}^{\frac{5}{4}}}:\frac{{\text{n}}^{\frac{-1}{2}}-{\text{n}}^{\frac{3}{2}}}{{\text{n}}^{\frac{1}{2}}{\text{+ n}}^{\frac{-1}{2}}}\right)\cdot \sqrt[\text{3}]{\frac{\text{m}}{{\text{n}}^{\text{4}}}}\cdot \sqrt[6]{\frac{{\text{n}}^{\text{14}}}{{\text{m}}^{\text{2}}}}$. Tính giá trị biểu thức A khi m = 5 và n = –2.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\text{A}=\left(\frac{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}-{\text{m}}^{\frac{9}{4}}}{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}-{\text{m}}^{\frac{5}{4}}}:\frac{{\text{n}}^{\frac{-1}{2}}-{\text{n}}^{\frac{3}{2}}}{{\text{n}}^{\frac{1}{2}}{\text{+ n}}^{\frac{-1}{2}}}\right)\cdot \sqrt[\text{3}]{\frac{\text{m}}{{\text{n}}^{\text{4}}}}\cdot \sqrt[6]{\frac{{\text{n}}^{\text{14}}}{{\text{m}}^{\text{2}}}}$

$\text{A}=\left(\frac{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}\left(1-{\text{m}}^2\right)}{{\text{m}}^{\frac{1}{4}}\left(1-\text{m}\right)}:\frac{{\text{n}}^{\frac{-1}{2}}\left(1-{\text{n}}^2\right)}{{\text{n}}^{\frac{-1}{2}}\left(1+\text{n}\right)}\right)\cdot \frac{{\text{m}}^{\frac{1}{3}}}{{\text{n}}^{\frac{4}{3}}}\cdot \frac{{\text{n}}^{\frac{14}{6}}}{{\text{m}}^{\frac{2}{6}}}$

$\text{A}=\left(\left(1+\text{m}\right):\left(1-\text{n}\right)\right)\cdot {\text{m}}^{\frac{1}{3}-\frac{2}{6}}\cdot {\text{n}}^{\frac{14}{6}-\frac{4}{3}}$

$\text{A}=\frac{1+\text{m}}{1-\text{n}}\cdot \text{n}$

Thay m = 5 và n = –2 vào A ta được:

$\text{A}=\frac{1+\text{5}}{1+2}\cdot \left(-2\right)=-4.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\text{A}=2^{\frac{17}{7}}:2^{\frac{3}{7}}-3^{\frac{11}{5}}\cdot 3^{\frac{4}{5}}$

b) $\text{B}={\left(4^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right)}^{-3}\cdot 4^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Bài 2. Rút gọn biểu thức $\text{C}=\frac{\sqrt{\text{a}}}{\sqrt[5]{\text{a}}}+\sqrt[4]{\frac{\text{27}}{{\text{a}}^{\text{6}}}}\left(\frac{{\text{a}}^2}{\sqrt[\text{4}]{\text{81}}}-\sqrt[\text{3}]{{\text{a}}^{\text{7}}}\right)(\text{a}>0)$

Bài 3. Rút gọn biểu thức $\left(1-2\sqrt{\frac{\text{a}}{\text{b}}}+\frac{\text{a}}{\text{b}}\right):{\left({\text{a}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}}-{\text{b}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}}\right)}^2(\text{a > 0,b}\ge \text{0,a}\ne \text{b})$

Bài 4. Tính giá trị biểu thức $\frac{\text{a}-1}{{\text{a}}^{\frac{3}{4}}+{\text{a}}^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{\sqrt{\text{a}}+\sqrt[4]{\text{a}}}{\sqrt{\text{a}}+1}\cdot {\text{a}}^{\frac{1}{4}}+1(\text{a}>0)$ tại a = 3.

Bài 5. Chứng minh biểu thức $\text{A}=\text{mn}\frac{\sqrt[n]{\frac{{\text{m}}^{\text{1-a}}}{{\text{n}}^{\text{a}}}-\frac{{\text{m}}^{\text{-a}}}{{\text{n}}^{\text{a-1}}}}}{\sqrt[n]{\text{m}-\text{n}}}$ (0 < n < m) không phụ thuộc vào n.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức xác định lôgarit dựa vào định nghĩa

• Công thức tính lôgarit của một tích, một thương, một lũy thừa

• Công thức đổi cơ số của lôgarit

• Công thức Tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit

• Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit

---