Công thức đổi cơ số của lôgarit lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức đổi cơ số của lôgarit trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức đổi cơ số của lôgarit từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1) và M là số thực dương tùy ý ta có:

+) $\mathrm{l}{\text{og}}_{\text{a}}\text{M}=\frac{{\text{log}}_{\text{b}}\text{M}}{{\text{log}}_{\text{b}}\text{a}}$ hay log_ba ⋅ log_aM = log_bM.

+) ${\text{log}}_{\text{a}}\text{M}=\frac{\text{1}}{{\text{log}}_{\text{M}}\text{a}}{\text{ hay log}}_{\text{a}}\text{M}\cdot {\text{log}}_{\text{M}}\text{a}=1$

+) ${\text{a}}^{{\text{log}}_{\text{b}}\text{c}}={\text{c}}^{{\text{log}}_{\text{b}}\text{a}}$

+) ${\text{log}}_{{\text{a}}^{\text{α}}}\text{M}=\frac{\text{1}}{\text{α}}{\text{log}}_{\text{a}}\text{M}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

a) log₉27.

b) log₈16.

c) log₁₆64.

Hướng dẫn giải:

a) log₉27 = $\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}9}=\frac{{\log }_3{3}^3}{{\log }_3{3}^2}=\frac{3}{2}$

b) log₈16 = $\frac{{\log }_{2}16}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_2{2}^4}{{\log }_2{2}^3}=\frac{4}{3}$

c) log₁₆64 = $\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}16}=\frac{{\log }_4{4}^3}{{\log }_4{4}^2}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức:

a) A = log₃4 ⋅ log₄5 ⋅ log₅6 ⋅ log₆7.

b) $\text{B =}\log \left({25}^{{\log }_{5}6}+{49}^{{\log }_{7}8}\right)$

c) $\text{C}={\log }_{3}27+{\log }_{3^2}81-16$

Hướng dẫn giải:

a) A = log₃4 ⋅ log₄5 ⋅ log₅6 ⋅ log₆7

A = log₃5 ⋅ log₅7

A = log₃7.

b) $\text{B =}\log \left({25}^{{\log }_{5}6}+{49}^{{\log }_{7}8}\right)$

$\text{B =}\log \left(6^{{\log }_{5}25}+8^{{\log }_{7}49}\right)$

B = log(6 ⋅ 2 + 8 ⋅ 2)

B = log28.

c) $\text{C}={\log }_{3}27+{\log }_{3^2}81-16$

$\text{C}={\log }_3{3}^3+\frac{1}{2}{\log }_3{3}^4-16$

$\text{C}=3+\frac{1}{2}\cdot 4-16$

C = –11.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $9^{{\log }_{\sqrt{3}}4}$

b) $4^{{\log }_{8}9}$

Bài 2. Tính giá trị biểu thức log₂3 ⋅ log₃4 ⋅ log₄5 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ log_n(n + 1) với n thỏa mãn 3n – 1 = 59.

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức $\text{A}=\frac{{125}^{{\log }_{5}6}+7^{{\log }_{7}9}-8}{3^{1+{\log }_{9}4}+5^{{\log }_{125}27}}.$

Bài 4. Tính giá trị biểu thức B = log₃2 ⋅ log₄3 ⋅ log₅4 ⋅⋅⋅⋅ log₁₆15.

Bài 5. Tính a + b biết $\text{a =}{\log }_{\frac{1}{3}}7+2{\log }_{9}49-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{7}$ và b = log₃6 ⋅ log₈9 ⋅ log₆2.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức Tập xác định của hàm số mũ, hàm số lôgarit

• Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit

• Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgari

• Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa

• Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương

---