Công thức tính Đạo hàm sơ cấp, cấp cao, lượng giác (đầy đủ nhất)

Bài viết Công thức tính Đạo hàm sơ cấp, cấp cao, lượng giác trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức tính Đạo hàm sơ cấp, cấp cao, lượng giác

a. Quy tắc đạo hàm chung

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

b. Công thức đạo hàm sơ cấp

c. Đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ thường gặp

d. Công thức đạo hàm cấp cao

• (x^m)⁽ⁿ⁾ = m(m – 1)(m – 2)….(m – n + 1).x^{m – n} nếu m ≥ n.

• (x^m)⁽ⁿ⁾ = 0 nếu m < n.

• (a^x)⁽ⁿ⁾ = (lna)ⁿ.a^x.

• (log_ax)⁽ⁿ⁾ = (−1)^{n – 1}. $\frac{\left(n-1\right)!}{\ln a}.\frac{1}{x^n}$.

• ${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{\left(n\right)}={\left(-1\right)}^n.a^n.n!.\frac{1}{{\left(ax+b\right)}^{n+1}}$.

• (lnx)⁽ⁿ⁾ = (−1)^{n – 1}. (n – 1)!.x⁻ⁿ.

• (e^kx)⁽ⁿ⁾ = kⁿ.e^kx.

• (sinax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ.sin(ax + n.$\frac{\pi }{2}$).                 • (cosax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ.cos(ax + n.$\frac{\pi }{2}$).

e. Công thức đạo hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược

• (sinx)' = cosx

• (cosx)' = −sinx

• (tanx)' = ${\left(\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right)}^{\text{'}}$ = $\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$.

• (cotx)' = ${\left(\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$ = $-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\left(1+{\cot }^{2}x\right)=-{\csc }^{2}x$.

• (secx)' = ${\left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$ = $\frac{1}{\cos x}.\frac{\sin x}{\cos x}=\sec \left(x\right)\tan x$.

• (cscx)' = ${\left(\frac{1}{\sin \left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}$ = $-\frac{1}{\sin x}.\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc \left(x\right)\cot \left(x\right)$.

• ${\left(\arcsin \left(x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

• ${\left(\arccos \left(x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$.

• ${\left(\arctan \left(x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x^2+1}$.

2. Ví dụ minh họa Công thức tính Đạo hàm sơ cấp, cấp cao, lượng giác

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² – 5x;

b) f(x) = (1 + 2x)(x – 1);

c) f(x) = $\frac{2x-1}{x^2}$;

d) f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Xét f(x) = 3x² – 5x.

Khi đó, f'(x) = (3x²)'  – (5x)'  = 6x – 5.

b) Xét f(x) = (1 + 2x)(x – 1)

Khi đó, f'(x) = (1 + 2x)'(x – 1) + (1 + 2x)(x – 1)'

= 2(x – 1) + (1 + 2x).1

= 2x – 2 + 1 + 2x

= 4x – 1.

c) Xét f(x) = $\frac{2x-1}{x^2}$.

Khi đó, với x ≠ 0, ta có: f'(x) = $\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}{x}^2-\left(2x-1\right).{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{x^4}$

= $\frac{2x^2-\left(2x-1\right).2x}{x^4}$ = $\frac{2x^2-4x^2+2x}{x^4}$ = $\frac{-2x^2+2x}{x^4}=\frac{-2x+2}{x^3}$.

d) Xét f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Khi đó, với x ≠ 0, ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}}{x}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\sin x-\frac{1}{2}\cos x$;

b) $y=\tan x-\frac{1}{\pi }\cot x$;

c) $y=\frac{\sin x}{\sin x\cos x}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x₀ = 1.

a) y = 2^x;

b) y = lnx.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y' = 2^x.ln2.

Khi đó đạo hàm của hàm số y = 2^x  tại x₀ = 1 là: y'(1)= 2.ln2.

b) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{x}$.

Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x₀ = 1 là: $y^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{1}=1$.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = x³ + 2x² – 5x + 4.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x₀ = −2;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến bằng −6.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = x³ + 2x² – 5x + 4.

Ta có: y'(x) = 3x² + 4x – 5.

a) Với x₀ = –2 thì y₀ = (–2)³ + 2(–2)² – 5(–2) + 4 = 14.

Do đó, y'(–2) = 3(–2)² + 4(–2) – 5 = –1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x₀ = –2 là:

y – 14 = – 1[x – (– 2)] hay y = – x + 12.

b) Gọi A(x₀; y₀) là tiếp điểm thuộc đồ thị hàm số y = x³ + 2x² – 5x + 4.

Do hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số bằng – 6 nên

y'(x₀) = – 6 ⇔ 3x₀² + 4x₀ – 5 = – 6 ⇔ x₀ = – 1 hoặc $x_0=-\frac{1}{3}$.

Với x₀ = −1 thì y₀ = 10, phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 10 = −6(x + 1) hay

y = −6x + 4.

Với $x_0=-\frac{1}{3}$ thì $y_0=\frac{158}{27}$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y-\frac{158}{27}=-6\left(x+\frac{1}{3}\right)$ hay $y=-6x+\frac{104}{27}$.

3. Bài tập tự luyện Công thức tính Đạo hàm sơ cấp, cấp cao, lượng giác

Bài 1. Các khẳng định sau Đúng hay Sai

Bài 2. Thực hiện tính đạo hàm.

a) Cho y = 3x³ + x⁴ – 5x. Tính y'(1).

b) Cho $y=\frac{3}{\sqrt{x}}$. Tính y'(3).

c) Cho $y=\frac{x^2+x+1}{2x+3}$. Tính y'(−1).

d) Cho y = 4^x + e^x. Tính y'(2).

e) Cho y = 2xlnx. Tính y'(3).

f) Cho y = sinx + 2cosx – 3tanx + 4cotx. Tính $y^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

Bài 3. Pháo hoa tầm thấp được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động h(t) = 9,8t² + 19,6t – 18, trong đó t ≥ 0, t(s) là thời gian chuyển động và h(m) là độ cao so với mặt đất.

a) Sau bao lâu để từ khi bắn pháo hoa ở độ cao 1158m?

b) Vận tốc tức thời của pháo hoa khi ở độ cao 325m?

c) Tại thời điểm pháo hoa có vận tốc tức thời 78,4 (m/s) thì pháo hoa đang ở độ cao bao nhiêu so với mặt đất?

Bài 4. Cho hàm số y = (x³ – 2)(1 – x²).

a) Tính đạo hàm của đồ thị hàm số tại một điểm x₀ bất kì;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y₀ = 0.

Bài 5. Một vật rơi tự do với vận tốc ban đầu v₀ = 54 m/s (bỏ qua sức cản của không khí) sau thời gian t thì có phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{2}g{t}^2-\left(v_0-5\right)t$, trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tính vận tốc khi vật đó chạm đất.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

• Công thức tính đạo hàm cấp hai

• Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

---