Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 11 (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Bài viết Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Công thức xác định trung vị

Giả sử k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2} .$ Công thức xác định trung vị (M_e) của mẫu số liệu ghép nhóm:

M_{e} = r + \frac{\frac{n}{2} - {cf}_{k-1}}{n_{k}} \cdot d

Trong đó:

+ r, d, n_k lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k.

+ cf_k-1 là tần số tích lũy của nhóm k – 1.

b) Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Giả sử p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} .$ Tứ phân vị thứ nhất (Q₁) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

Q_{1} = s + \frac{\frac{n}{4} - {cf}_{p-1}}{n_{p}} \cdot h

Trong đó:

+ s, h, n_p lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p.

+ cf_p-1 là tần số tích lũy của nhóm p – 1.

- Tứ phân vị thứ hai (Q₂) của mẫu số liệu ghép nhóm chính là trung vị (M_e) của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Giả sử q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4} .$ Tứ phân vị thứ ba (Q₃) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

Q_{3} = t + \frac{\frac{3n}{4} - {cf}_{q-1}}{n_{q}} \cdot l

Trong đó:

+ t, l, n_q lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q.

+ cf_q-1 là tần số tích lũy của nhóm q – 1.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tuổi thọ (năm) của 50 chiếc điện thoại như sau:

Tuổi thọ (năm)	[2; 2,5)	[2,5; 3)	[3; 3,5)	[3,5; 4)	[4; 4,5)	[4,5; 5)
Tần số	4	9	14	11	7	5

a) Tìm tần số tích lũy tương ứng của từng nhóm.

b) Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

Tuổi thọ (năm)	[2; 2,5)	[2,5; 3)	[3; 3,5)	[3,5; 4)	[4; 4,5)	[4,5; 5)
Tần số	4	9	14	11	7	5
Tần số tích lũy	4	13	27	38	45	50

b) Ta có $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Mà cf₃ = 27 > 25. Vậy nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 25.

Xét nhóm 3 là nhóm [3; 3,5) có r = 3, d = 0,5, n₃ = 27. Nhóm 2 là nhóm [2,5; 3) có cf₂ = 13.

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_{e} = 3 + \frac{25 - 13}{27} \cdot 0, 5 = \frac{29}{9}

Ví dụ 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Tần số	2	10	6	4	3
Tần số tích lũy	2	12	18	22	25

Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

Số phần tử của mẫu là n = 25.

Ta có $\frac{n}{4} = \frac{25}{4} = 6, 25$ . Mà 2 < 6,25 < 12.

Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 6,25.

Xét nhóm 2 là nhóm [10; 20) có s = 10, h = 10, n₂ = 12 và nhóm 1 là nhóm [0; 10) là nhóm có cf₁ = 2.

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q_{1} = 10 + \frac{6, 25 - 2}{12} \cdot 10 = \frac{325}{24}

Ta có $\frac{n}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$

Mà cf₃ = 18 > 12,5. Vậy nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 12,5.

Xét nhóm 3 là nhóm [20; 30) có r = 20, d = 10, n₃ = 18.

Nhóm 2 là nhóm [10; 20) có cf₂ = 12.

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ hai là:

Q_{2} {= M}_{e} = 20 + \frac{12, 5 - 12}{18} \cdot 10 = \frac{365}{18}

Ta có $\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4} = 18, 75 .$ Mà 18 < 18,75 < 22.

Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 18,75.

Xét nhóm 4 là nhóm [30; 40) có s = 30, h = 10, n₄ = 22 và nhóm 3 là nhóm [20; 30) là nhóm có cf₃ = 18.

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q_{3} = 30 + \frac{18, 75 - 18}{22} \cdot 10 = \frac{1335}{44}

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm	[0; 30)	[30; 60)	[60; 90)	[90, 120)
Tần số	3	15	10	7
Tần số tích lũy	3	18	28	35

Xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 2. Khảo sát thời gian tập thể dục buổi sáng của một số người lớn tuổi ta được bẳng như sau:

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số người	5	9	12	10	6

Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 3. Tuổi thọ của một số con sâu ăn lá được cho bởi bảng sau:

Thời gian (ngày)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
Số lượng	5	12	23	31	29

Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 4. Cho bảng số liệu ghép nhóm nhứ sau:

Nhóm	Dưới 20	[20; 30)	[30; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Tần số	4	19	6	2	3	1
Tần số tích lũy	4	23	29	31	34	35

Hãy xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ 3 và tính tứ phân vị thứ 3 đó.

Bài 5. Điểm kiểm tra toán 15 phút của lớp 11A được ghi lại dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Số học sinh	6	10	13	9	7

Xác định tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu trên.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Các loạt bài lớp 6 khác