Công thức tính đạo hàm cấp hai lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính đạo hàm cấp hai trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính đạo hàm cấp hai từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức 

– Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x, kí hiệu là f’’(x) hoặc y’’.

– Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động ta có: a(t) = f’’(t).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2-\mathrm{x}}{3\mathrm{x}+1}.$ Tính đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

 Ta có: ${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{7}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^2}$

$\Rightarrow {{\mathrm{f}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=7\cdot \frac{2\left(3\mathrm{x}+1\right){\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^4}=\frac{42}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^3}$

Ví dụ 2. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\ne 0\right).$

a) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số;

b) So sánh y’’(2) với 0.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: ${\mathrm{y}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\Rightarrow {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^4}=\frac{2}{{\mathrm{x}}^3}.$

b) Ta thấy rắng: ${\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)=\frac{2}{2^3}=\frac{1}{4}>0$ Vậy y’’(2) > 0.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho các hàm số sau:

a) $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{-2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}$. Tính f’’(2);              

b) f(x) = x²e^–x. Tính f’’(0);              

c) f(x) = sinx + cosx. Tính ${\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$;              

d) f(x) = ln(4x = 3). Tính f’’(1).      

Bài 2. Cho hàm số g(x) = ax² + bx – 4 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết rằng g’(1) = 1 và g’’(– 2) =  – 6.

Bài 3. Cho hàm số y = sin 2x. Chứng minh rằng đẳng thức 4y(x) + y’’(x) = 0 đúng với mọi x.

Bài 4. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-20}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}.$

a) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số;

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ${\mathrm{x}}_0=\frac{1}{3}$

Bài 5. Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s(t) = t³ – 3t² + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Hãy xác định gia tốc của chuyển động khi t = 3s?

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức cộng xác suất

• Công thức nhan xác suất

---