Công thức tính đạo hàm của hàm hợp lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính đạo hàm của hàm hợp trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Đạo hàm của hàm số hợp:

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm ${u^{\text{'}}}_x$tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm ${y^{\text{'}}}_u$tại uthì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm y' tại x và ta có ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x.$

Công thức đạo hàm

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2$. Tính đạo hàm của hàm số f(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right){\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{{\left(1-\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\left(1+\sqrt{x}\right)-\left(1-\sqrt{x}\right){\left(1+\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \left(1+\sqrt{x}\right)-\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=\frac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{1+\sqrt{x}}\cdot \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{{\left(1+\sqrt{x}\right)}^2}$

$=-\frac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}{\left(1+\sqrt{x}\right)}^3}$

Ví dụ 2. Cho hàm số y = (x – 5)(x + 1)². Tìm nghiệm của y’(x) = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = (x – 5)(x + 1)²

Ta có y’(x) = (x + 1)² + (x – 5).2.(x + 1)

= x² + 2x + 1 + 2x² – 8x – 10 = 3x² – 6x – 9.

y’(x) = 0 ⇔ 3x² – 6x – 9 = 0 ⇔ 3(x² – 2x – 3) = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3.

Vậy đạo hàm y’(x) = 0 có tập nghiệm là S = {–1; 3}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (5x + 1)(1 – x)³ tại điểm $x=\frac{1}{2}$

b) $y=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{sinx}}}$ tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$

c) $y={\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3$ tại điểm x = 1.

Bài 2. Tìm m để các hàm số:

a) y = (m – 1)x³ – 3(m + 2)x² – 6(m + 2)x + 1 có y’ ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

b) $y=\frac{{\mathrm{mx}}^3}{3}-{\mathrm{mx}}^2+\left(3m-1\right)x+1$ có y’ ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;.

Bài 3. Cho hàm số và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sin }^2\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\mathrm{khi}\mathrm{x}>0\\ \mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\le 0\end{array}\right.$. Tính f’(0).

Bài 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{x}.$ Tính giá trị biểu thức $\frac{f^{\text{'}}\left(0,01\right)}{100}$

Bài 5. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn có hàm số là $Q\left(t\right)=5\sin \left(3t+\frac{\pi }{2}\right)$trong thời gian là t (t > 0). Hãy tính cường độ tức thời của dòng điện chạy qua tại thời điểm $t=\frac{\pi }{12}$(s), biết rằng I(t₀) = Q(t₀).

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính đạo hàm cấp hai

• Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức cộng xác suất

---