Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Hàm số tổng quát: y = f(x).

Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta có:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

- Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

b) Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

- Với a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$.

- Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau: y = 5x – 2 trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = 5x – 2. Hàm số này xác định trên ℝ.

Lấy x₁, x₂ là hai số tùy ý sao cho x₁ < x₂, ta có:

x₁ < x₂ ⇒ 5x₁ < 5x₂ ⇒ 5x₁ – 2 < 5x₂ – 2 ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên ℝ.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = 2x² – 3x + 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng (5; 10).

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = 2x² – 3x + 1 là hàm số bậc hai với các hệ số a = 2, b = – 3, c = 1.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-3\right)}{2.2}=\frac{3}{4}$.

Do hệ số a = 2 > 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{4};+\infty \right)$.

Mà (5; 10) ⊂ $\left(\frac{3}{4};+\infty \right)$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (5; 10).

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [– 3; 3] và có đồ thị được biểu diễn bởi hình sau:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định trên [– 3; 3]. Từ đồ thị, ta thấy:

- Trên khoảng (– 3; – 1), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 3; – 1).

- Trên khoảng (– 1; 1), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1).

- Trên khoảng (1; 3), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định:

a) y = 3 – 2x;

b) y = 10x + 3.

Bài 2. Cho hàm số y = $\frac{x^2+1}{3-2x}$, xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = f(x) = x² – 4 trên khoảng (–∞;0).

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó trên tập xác định.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai

• Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Định lí côsin và hệ quả

• Định lí sin và hệ quả

---