Công thức xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Cho hàm số bậc hai: y = ax² + bx + c (a ≠ 0), trong mặt phẳng Oxy, đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có:

- Tọa độ đỉnh I của parabol là $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ (trong đó Δ = b² – 4ac);

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$.

Ngoài ra, ta có:

- Nếu b = 2b' thì đỉnh của parabol là $I^{\text{'}}\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$.

- Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ là c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c). Đây chính là tọa độ giao điểm của parabol với trục tung.

- Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂ hay chính là đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ (x₁; 0) và (x₂; 0). Đây chính là tọa độ giao điểm của parabol với trục hoành.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho parabol có phương trình y = 5x² – 7x + 1. Xác định tọa độ đỉnh của parabol.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = 5x² – 7x + 1 có các hệ số a = 5, b = – 7, c = 1.

Gọi I là tọa độ đỉnh của parabol. Khi đó:

Hoành độ đỉnh I là $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{-7}{2.5}=\frac{7}{10}$.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (– 7)² – 4 . 5 . 1 = 29.

Do đó, tung độ đỉnh I là $y_I=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{29}{4.5}=-\frac{29}{20}$.

Vậy tọa độ đỉnh của parabol đã cho là $I\left(\frac{7}{10};-\frac{29}{20}\right)$.

Ví dụ 2. Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x² + 3x + 2.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = x² + 3x + 2 là hàm số bậc hai với các hệ số a = 1, b = 3, c = 2.

Ta có: $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2.1}=-\frac{3}{2}$.

Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-\frac{3}{2}$.

Ví dụ 3. Cho parabol có phương trình y = – x² + 4x – 3. Tìm tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành.

Hướng dẫn giải:

- Gọi M là giao điểm của parbol với trục tung, khi đó tung độ của M là – 3, tức là giao điểm của parabol với trục tung là M(0; – 3).

- Xét phương trình – x² + 4x – 3 = 0.

Phương trình trên có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 3.

Vậy giao điểm của parabol với trục hoành là A(1; 0) và B(3; 0).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xác định tọa độ đỉnh của các parabol có phương trình sau:

a) y = 3x² – 4x + 5;

b) y = – 2x² + 3x + 10.

Bài 2. Đồ thị hàm số y = x² + 3x + 5 có trục đối xứng là đường thẳng nào?

Bài 3. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 4x – 1.

Bài 4. Cho parabol có phương trình y = x² – 3x + 4. Xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành.

Bài 5. Cho hàm số y = 2x² – 4x + 5. Đồ thị hàm số có cắt trục hoành không?

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Định lí côsin và hệ quả

• Định lí sin và hệ quả

• Các công thức tính diện tích tam giác

---