Công thức về luỹ thừa của số thực với số mũ tự nhiên lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức về luỹ thừa của số thực với số mũ tự nhiên trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức về luỹ thừa của số thực với số mũ tự nhiên từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Trong tập hợp các số thực, các phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên như sau:

Với x, y là các số thực và m, n là các số tự nhiên:

• Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $x^n=\underset{n\text{ thua so x}}{\underbrace{x.x.\mathrm{...}.x}};$

• Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số: với x ≠ 0, m ≥ n ta có

x^m. xⁿ = x^{m + n};

x^m : xⁿ = x^{m – n}

• Luỹ thừa của một luỹ thừa: (x^m)ⁿ = x^{m. n}

• Luỹ thừa của một tích, một thương:

(x. y)ⁿ = xⁿ. yⁿ;

${\left(\frac{\text{x}}{\text{y}}\right)}^{\text{n}}=\frac{{\text{x}}^{\text{n}}}{{\text{y}}^{\text{n}}}$ (với y ≠ 0)

• Quy ước: x⁰ = 1 và x¹ = x.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tính:

a) (‒3)⁴; 1¹⁰⁰; (‒2)⁰;

b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2;$

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^4$;

d) ${\left(\sqrt{7}\right)}^3.\left(\sqrt{7}\right);$

e) ${\left(\sqrt{11}\right)}^5:{\left(\sqrt{11}\right)}^3.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) (‒3)⁴ = (‒3).(‒3).(‒3).(‒3) = 81;

1¹⁰⁰ = 1;

(‒2)⁰ = 1.

b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\left(\frac{2}{5}\right).\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{4}{25};$

c) ${\left(\sqrt{5}\right)}^4={\left({\left(\sqrt{5}\right)}^2\right)}^2=5^2=25;$

d) ${\left(\sqrt{7}\right)}^3.{\left(\sqrt{7}\right)}^1={\left(\sqrt{7}\right)}^{3+1}={\left(\sqrt{7}\right)}^4$

$={\left({\left(\sqrt{7}\right)}^2\right)}^2=7^2=49;$

e) ${\left(\sqrt{11}\right)}^5:{\left(\sqrt{11}\right)}^3={\left(\sqrt{11}\right)}^{5-3}={\left(\sqrt{11}\right)}^2=11.$

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) 8². 2⁴ – 6.${\left(\sqrt{2}\right)}^4$;

b) 4⁹. ${\left(\sqrt{25}\right)}^{27}$;              

c) $\frac{6^6+6^3\cdot 3^3+3^6}{-73}.$

Hướng dẫn giải

a) 8². 2⁴ – 6.${\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= (2³)². 2⁴ – 6.${\left({\left(\sqrt{2}\right)}^2\right)}^2$

= 2⁶. 2⁴ – 6.2² = 2^{6 + 4} – 6.4

= 2¹⁰ – 24 = 1 024 – 24

= 1 000.

b) 4⁹. ${\left(\sqrt{25}\right)}^{27}$= 4⁹. ${\left(\sqrt{5^2}\right)}^{27}$

= 4⁹. 5²⁷ = 4⁹. (5³)⁹

= 4⁹. 125⁹ = (4. 125)⁹

= 500⁹

c) $\frac{6^6+6^3\cdot 3^3+3^6}{-73}.$

$=\frac{{\left(2.3\right)}^6+{\left(2.3\right)}^3\cdot 3^3+3^6}{-73}$

$=\frac{2^6\cdot 3^6+2^3\cdot 3^3\cdot 3^3+3^6}{-73}$

$=\frac{3^6\left(2^6+2^3+1\right)}{-73}$$=\frac{3^6\cdot 73}{-73}$

= ‒3⁶ = ‒729.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính (‒1)²⁰; (‒1)²¹; ${\left(\sqrt{5}\right)}^4$; ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$; ${\left(\sqrt{25}\right)}^2{.5}^2$; ${\left(\sqrt{169}\right)}^3:{13}^2$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số thực:

a) $\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^2\cdot {(-1)}^2}{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\cdot {\left(-\frac{5}{12}\right)}^2};$

b) $\frac{2^3+2^4+2^5}{7^2};$

c) $\frac{{\left(0,2\right)}^5.0,3^3}{{\left(0,2\right)}^7.{\left(0,3\right)}^4};$

d) ${\left(1+\sqrt{0,25}-\frac{1}{4}\right)}^2.\left(2+\frac{3}{7}\right).$

Bài 3. Tính nhanh:

M = (100 – 1). (100 – 2²). (100 – 3²). …. (100 – 50²)

Bài 4. Tìm x biết

a) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^6};$

b) (2x – 1)³ = ‒${\left(\sqrt{2}\right)}^2$‒ 6;

c) (1,2)³. x = (1,2)⁵;

d) 16^x : 2^x = 64.

Bài 5.

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5,97. 10²⁴ kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng 7,35. 10²² kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng 8,27. 10⁸ km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng 3,09. 10⁹ km. Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

Bài 6. Một sân khấu có dạng hình vuông, diện tích 81 m². Em hãy tính chu vi của sân khấu đó.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính giá trị tuyệt đối của một số thực

• Công thức về tỉ lệ thức

• Công thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau

• Công thức về đại lượng tỉ lệ thuận

• Công thức về đại lượng tỉ lệ nghịch

---