Công thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, ta suy ra:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ (b ≠ d và b ≠ –d).

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{g}$, ta suy ra:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{g}=\frac{a+c+e}{b+d+g}=\frac{a-c+e}{b-d+g}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{g}$, ta còn nói các số a, c, e lần lượt tỉ lệ với các số b, d, g.

Khi đó ta cũng viết a : c : e = b : d : g.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm hai số x, y, biết:

a) $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$ và x + y = 20;

b) 7x = 5y và x – y = –10;

c) $\frac{x}{y}=\frac{-2}{9}$ và 3x + 4y = 20;

d) x : y = 5 : 2 và –x + 2y = –3.

Hướng dẫn giải:

a) Từ tỉ lệ thức $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{x+y}{2+3}=\frac{20}{5}=4$.

+ Với $\frac{x}{2}=4$, ta suy ra x = 4.2 = 8.

+ Với $\frac{y}{3}=4$, ta suy ra y = 4.3 = 12.

Vậy x = 8; y = 12.

b) Từ 7x = 5yta có tỉ lệ thức $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{x-y}{5-7}=\frac{-10}{-2}=5$.

+ Với $\frac{x}{5}=5$, ta suy ra x = 5.5 = 25.

+ Với $\frac{y}{7}=5$, ta suy ra y = 5.7 = 35.

Vậy x = 25; y = 35.

c) Từ tỉ lệ thức $\frac{x}{y}=\frac{-2}{9}$ ta suy ra $\frac{x}{-2}=\frac{y}{9}$.

Khi đó ta có $\frac{3x}{3.\left(-2\right)}=\frac{4y}{4.9}$.

Do đó $\frac{3x}{-6}=\frac{4y}{36}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{3x}{-6}=\frac{4y}{36}=\frac{3x+4y}{-6+36}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$.

+ Với $\frac{3x}{-6}=\frac{2}{3}$, ta suy ra 3x = $\frac{\left(-6\right).2}{3}$ = –4.

Do đó ta được $x=\frac{-4}{3}$.

+ Với $\frac{4y}{36}=\frac{2}{3}$, ta suy ra 4y = $\frac{36.2}{3}$ = 24.

Do đó ta được x = $\frac{24}{4}$ = 6.

Vậy $x=\frac{-4}{3}$; y = 6.

d) Vì x : y = 5 : 2 nên ta có $\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$.

Ta suy ra $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}$.

Khi đó ta có $\frac{-x}{-5}=\frac{2y}{2.2}$.

Do đó $\frac{-x}{-5}=\frac{2y}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{-x}{-5}=\frac{2y}{4}=\frac{-x+2y}{-5+4}=\frac{-3}{-1}=3$.

+ Với $\frac{-x}{-5}=3$, ta suy ra –x = 3.(–5) = –15.

Do đó ta được x = 15.

+ Với $\frac{2y}{4}=3$, ta suy ra 2y = 3.4 = 12.

Do đó ta được y = $\frac{12}{2}$ = 6.

Vậy x = 15; y = 6.

Ví dụ 2. Tìm ba số x, y , z, biết:

a) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$ và x + y + z = 26;

b) $\frac{x}{10}=\frac{y}{2}=\frac{z}{13}$ và x – y + z = –63;

c) $\frac{x}{-12}=\frac{y}{21}=\frac{z}{-6}$ và x + 2y – z = –54;

d) $\frac{x-2}{7}=\frac{y-5}{8}=\frac{z-3}{9}$  và x – y + z = ‒16.

Hướng dẫn giải:

a) Từ $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=\frac{x+y+z}{3+4+6}=\frac{26}{13}=2$.

+ Với $\frac{x}{3}=2$, ta suy ra x = 2.3 = 6.

+ Với $\frac{y}{4}=2$, ta suy ra y = 2.4 = 8.

+ Với $\frac{z}{6}=2$, ta suy ra z = 2.6 = 12.

Vậy x = 6; y = 8; z = 12.

b) Từ $\frac{x}{10}=\frac{y}{2}=\frac{z}{13}$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{10}=\frac{y}{2}=\frac{z}{13}=\frac{x-y+z}{10-2+13}=\frac{-63}{21}=-3$.

+ Với $\frac{x}{10}=-3$, ta suy ra x = (–3).10 = –30.

+ Với $\frac{y}{2}=-3$, ta suy ra y = (–3).2 = –6.

+ Với $\frac{z}{13}=-3$, ta suy ra z = (–3).13 = –39.

Vậy x = –30; y = –6; z = –39.

c) Ta có $\frac{x}{-12}=\frac{y}{21}=\frac{z}{-6}$.

Ta suy ra $\frac{x}{-12}=\frac{2y}{2.21}=\frac{z}{-6}$.

Do đó ta có $\frac{x}{-12}=\frac{2y}{42}=\frac{z}{-6}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{-12}=\frac{2y}{42}=\frac{z}{-6}=\frac{x+2y-z}{-12+42-\left(-6\right)}=\frac{-54}{36}=\frac{-3}{2}$.

+ Với $\frac{x}{-12}=\frac{-3}{2}$, ta suy ra x = $\frac{\left(-12\right).\left(-3\right)}{2}$ = 18.

+ Với $\frac{2y}{42}=\frac{-3}{2}$, ta suy ra 2y = $\frac{42.\left(-3\right)}{2}$ = –63.

Do đó ta có y = $\frac{-63}{2}$.

+ Với $\frac{z}{-6}=\frac{-3}{2}$, ta suy ra z = $\frac{\left(-6\right).\left(-3\right)}{2}$ = 9.

Vậy x = 18; y = $\frac{-63}{2}$; z = 9.

d) Từ $\frac{x-2}{7}=\frac{y-5}{8}=\frac{z-3}{9}$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x-2}{7}=\frac{y-5}{8}=\frac{z-3}{9}=\frac{x-2-\left(y-5\right)+z-3}{7-8+9}=\frac{x-y+z}{8}=\frac{-16}{8}=-2$.

+ Với $\frac{x-2}{7}=-2$, ta suy ra x – 2 = (–2).7 = –14.

Do đó ta có x = –14 + 2 = –12.

+ Với $\frac{y-5}{8}=-2$, ta suy ra y – 5 = (–2).8 = –16.

Do đó ta có y = –16 + 5 = –11.

+ Với $\frac{z-3}{9}=-2$, ta suy ra z – 3 = (–2).9 = –18.

Do đó ta có z = –18 + 3 = –15.

Vậy x = –12; y = –11; z = –15.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm hai số x, y, biết:

a) $\frac{x}{9}=\frac{y}{15}$ và x + y = –40;

b) $\frac{x}{100}=\frac{y}{150}$ và x – y = –500;

c) $\frac{x}{5}=\frac{y}{8}$ và 2x + 3y = 34;

d) $\frac{x}{y}=\frac{4}{17}$ và 5x – y = –51;

 Bài 2. Tìm hai số x, y, biết:

a) x : y = 6 : 9 và x – 3y = 66;

b) 4x = 11y và y – x = 8;

c) $\frac{x}{10}=\frac{y}{6}$ và x² – y² = 64;

d) $\frac{x}{2}=\frac{y}{6}$ và xy = 60.

Bài 3. Tìm ba số x, y, z, biết:

a) $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z}{8}$ và x + y + z = –30;

b) $\frac{x}{-4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{11}$ và x – y + z = –2;

c) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$ và x + 2y + 3z = –78;

d) x : y : z = 3 : 6 : 9 và z – x = 15;

Bài 4. Tìm ba số x, y, z, biết:

a) $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}$; $\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ và x – y + z = 7;

b) $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$ và x³ – y⁴ = 0;

c) $\frac{x}{-5}=\frac{y}{3}=\frac{z}{8}$ và x² – y² – z² = −8; 

d) $\frac{x-7}{5}=\frac{y+8}{-10}=\frac{z+9}{11}$  và x – y – z = 12.

Bài 5. Số điểm 10 trong học kỳ I vừa qua của hai bạn An, Bình tỉ lệ với 4 : 3. Em hãy tìm số điểm 10 của từng bạn trong mỗi trường hợp sau:

a) Tổng số điểm 10 của bạn An và bạn Bình là 21;

b) Số điểm 10 của An nhiều hơn của Bình là 2;

c) Tích số điểm 10 của bạn An và bạn Bình là 156;

d) Hiệu của hai bình phương số điểm 10 của bạn An và bạn Bình là 14.

Bài 6. Ba lớp 7A, 7B, 7C đã đóng góp một số kg giấy vụn để hưởng ứng chương trình “Kế hoạch nhỏ”. Em hãy tính số kg giấy vụn mà mỗi lớp đóng góp được trong mỗi trường hợp sau:

a) Số kg giấy vụn cả ba lớp 7A, 7B, 7C đóng góp được lần lượt tỉ lệ với 7 : 8 : 10 và tổng số kg giấy vụn cả ba lớp đóng góp được là 320 kg giấy vụn;

b) Số kg giấy vụn cả ba lớp 7A, 7B, 7C đóng góp được lần lượt tỉ lệ với 5 : 9 : 12 và tổng số kg giấy vụn lớp 7A và 7C đóng góp được nhiều hơn số kg giấy vụn lớp 7B là 80 kg;

c) Số kg giấy vụn cả ba lớp 7A, 7B, 7C đóng góp được lần lượt tỉ lệ với 10 : 5 : 3 và số kg giấy vụn lớp 7C đóng góp được ít hơn số kg giấy vụn lớp 7B là 30 kg;

d) Số kg giấy vụn cả ba lớp 7A, 7B, 7C đóng góp được lần lượt tỉ lệ với 3 : 5 : 7 và tổng số kg giấy vụn lớp 7A và 7B đóng góp được là 65 kg.

Bài 7. Trong một buổi ngoại khóa, học sinh các lớp của khối 7 (gồm 3 lớp 7A, 7B, 7C) cần trồng một số lượng cây xanh. Biết số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt  tỉ lệ với 32; 36; 40. Biết số cây mỗi học sinh trồng được là như nhau.

a) Nếu tổng số cây xanh cả 3 lớp trồng được là 54 cây. Khi đó mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây xanh?

b) Nếu lớp 7A trồng được 8 cây xanh. Em hãy tính số cây lớp 7B, 7C trồng được.

c) Nếu lớp 7C trồng được nhiều hơn lớp 7B là 6 cây xanh. Khi đó mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây xanh?

d) Nếu tổng số cây xanh lớp 7A và 7B trồng được là 85 cây xanh. Khi đó mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây xanh?

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức về đại lượng tỉ lệ thuận

• Công thức về đại lượng tỉ lệ nghịch

• Công thức về tăng giảm tỉ lệ phần trăm

• Công thức về hai góc kề nhau, bù nhau và kề bù

• Công thức về tính chất hai góc đối đỉnh

---