Các công thức lượng giác cơ bản lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Các công thức lượng giác cơ bản trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Các công thức lượng giác cơ bản từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:

sin²α + cos²α = 1

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$

$1+co{t}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$

tanα ∙ cotα = 1 $\left(\alpha \ne \frac{\mathrm{k\pi }}{2},k\in \mathbb{Z}\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết $\cos \alpha =\frac{4}{13}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: sin²α + cos²α = 1 ⇒ sin²α = 1 – cos²α = $1-{\left(\frac{4}{13}\right)}^2=\frac{153}{169}$.

Mà $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên sinα > 0, suy ra $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{17}}{13}$.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3\sqrt{17}}{13}:\frac{4}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{4}$

Mà tanα.cotα = 1 ⇒ cotα = 1 : tanα = $1:\frac{3\sqrt{17}}{4}=\frac{4}{3\sqrt{17}}$.

Ví dụ 2.Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α, biết tan α = 3 với –π < a < 0.

Hướng dẫn giải:

Do tanα ∙ cotα = 1 nên $cot\alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Ta có: $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{t}^2\alpha =1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{10}{9}$ nên ${\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$.

Mà –π < α < 0 nên sinα < 0.

Do đó, $\sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Mặt khác, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ nên $\cos \alpha =\frac{\sin \alpha }{\tan \alpha }=-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Vậy tanα = 3; $cot\alpha =\frac{1}{3}$; $\sin \alpha =-\frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính giá trị lượng giác của gócα, biết:

a) $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $\cos \alpha =\frac{4}{13}$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau:

a) A = (1 – sin²α) cot²α + 1 – cot²α;

b) $B=\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$.

Bài 3. Tính $A=\frac{cot\alpha -2\tan \alpha }{\tan \alpha +3\mathrm{co}t\alpha }$, biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$.

Bài 4. Cho tanα = –3. Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{\sin \alpha -3\cos \alpha }{\cos \alpha +2\sin \alpha }$

Bài 5. Cho tanα – 3cotα = 6 và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $\frac{2\sin \alpha -\tan \alpha }{\cos \alpha +cot\alpha }$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức về giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

• Công thức cộng, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc

• Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

• Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• Định lí Thalès trong không gian

---