Định lí Thalès trong không gian lớp 11 (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Bài viết Định lí Thalès trong không gian trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Định lí Thalès trong không gian từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Định lí Thalès trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì

$\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'} = \frac{A C}{A' C'}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện S.ABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁, C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₂, C₂. Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Hướng dẫn giải

Định lí Thalès trong không gian lớp 11 (hay, chi tiết)

Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với mặt phẳng (ABC) nên (P) // (Q), do đó ba mặt phẳng (ABC), (P) và (Q) đôi một song song. Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = \frac{B_{2} B_{1}}{B B_{1}} = \frac{C_{2} C_{1}}{C C_{1}}$ .

Mà AA₁ = A₁A₂ nên $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = 1$ , suy ra $\frac{A_{2} A_{1}}{A A_{1}} = \frac{B_{2} B_{1}}{B B_{1}} = \frac{C_{2} C_{1}}{C C_{1}} = 1$ , do đó BB₁ = B₁B₂ và CC₁ = C₁C₂.

Sử dụng định lí Thalés ta cũng chứng minh được $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = \frac{B_{2} S}{B_{2} B_{1}} = \frac{C_{2} S}{C_{2} C_{1}}$ .

Mà A₁A₂ = A₂S nên $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = 1$ , suy ra $\frac{A_{2} S}{A_{2} A_{1}} = \frac{B_{2} S}{B_{2} B_{1}} = \frac{C_{2} S}{C_{2} C_{1}} = 1$ , do đó B₁B₂ = B₂S và C₁C₂ = C₂S.

Vậy BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = 12, SB = 15, SC = 17. Trên cạnh SA lấy các điểm M, N sao cho SM = 3, MN = 5, NA = 4. Gọi (P), (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lượt đi qua M, N. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC tại M₁, M₂ và mặt phẳng (Q) cắt SB, SC tại N₁, N₂. Tính độ dài các đoạn thẳng M₁N₁ và M₂N₂.

Hướng dẫn giải

Định lí Thalès trong không gian lớp 11 (hay, chi tiết)

Áp dụng định lí Thalès ta suy ra: $\frac{S M}{S M_{1}} = \frac{M N}{M_{1} N_{1}} = \frac{N A}{N_{1} B}$ (1) và $\frac{S M}{S M_{2}} = \frac{M N}{M_{2} N_{2}} = \frac{N A}{N_{2} C}$ (2).

+ Từ (1), ta có $\frac{S M}{S M_{1}} = \frac{M N}{M_{1} N_{1}} = \frac{N A}{N_{1} B} = \frac{S M + M N + N A}{S M_{1} + M_{1} N_{1} + N_{1} B} = \frac{S A}{S B} = \frac{12}{15}$ .

Suy ra $M_{1} N_{1} = \frac{15 M N}{12} = \frac{15.5}{12} = \frac{25}{4}$ .

+ Từ (2), ta có $\frac{S M}{S M_{2}} = \frac{M N}{M_{2} N_{2}} = \frac{N A}{N_{2} C} = \frac{S M + M N + N A}{S M_{2} + M_{2} N_{2} + N_{2} C} = \frac{S A}{S C} = \frac{12}{17}$ .

Suy ra $M_{2} N_{2} = \frac{17 . M N}{12} = \frac{17.5}{12} = \frac{85}{12}$ .

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt trên AD', BD sao cho AM = DN = x (0 < x < a√2).

a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh khi $x = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ thì MN // A'C.

Hướng dẫn giải

Định lí Thalès trong không gian lớp 11 (hay, chi tiết)

a) Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mặt phẳng (A'D'CB). Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (A'D'CB). Giả sử (Q) cắt BD tại điểm N'.

Theo định lí Thales ta có $\frac{A M}{A D'} = \frac{D N'}{D B}$ (1).

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh a nên AD' = DB = a√2.

Từ (1) ta có AM = DN', mà DN = AM nên DN' = DN, do đó N' ≡ N, suy ra MN ⊂ (Q).

Mà $(\begin{matrix} (Q) ∥ (A' D' C B) \\ M N \subset (Q) \end{matrix}) \Rightarrow M N ∥ (A' D' C B)$ .

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A'D'CB).

b) Gọi O = AC ∩ BD. Ta có

$D N = x = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ , $D O = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow D N = \frac{2}{3} D O$ suy ra N là trọng tâm của tam giác ACD.

Tương tự M là trọng tâm của tam giác A'AD.

Gọi I là trung điểm của AD ta có $\frac{I N}{I C} = \frac{1}{3}$ , $\frac{I M}{I A'} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{I N}{I C} = \frac{I M}{I A'}$ ⇒ MN//A'C.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, M là một điểm di động trên SC, (α) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

a) Tìm giao điểm H và K của (α) với SB, SD.

b) Chứng minh rằng $\frac{S B}{S H} + \frac{S D}{S K} - \frac{S C}{S M}$ có giá trị không đổi.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm lần lượt di động trên BC, AD sao cho $\frac{B M}{M C} = \frac{A N}{N D}$ . Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên SB, AC lần lượt lấy M, N sao cho $\frac{B M}{M S} = \frac{N C}{N A} = x$ , 0 < x < 1. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng cố định khi x thay đổi.

b) Tìm x để (MNG) // (SAD).

c) Tìm x để NG // (SAB).

Bài 4.Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P), (Q).Tìm tập hợp cácđiểm Ithuộc đoạn MN sao cho $\frac{I M}{I N} = k$ , k ≠ 0.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên hai cạnh AB và CD. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án các lớp các môn học