Công thức tính thể tích của khối chóp lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính thể tích của khối chóp trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính thể tích của khối chóp từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = $\frac{1}{3}$S∙h, trong đó V là thể tích của khối chóp, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối chóp.

Nhận xét: Thể tích của khối tứ diện bằng một phần ba tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao 9 cm, cạnh đáy 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáy của hình chóp là tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là S = 5² = 25 (cm²).

Thể tích cần tìm là $V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}.25.9=75$ (cm³).

Ví dụ 2. Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO ⊥ (ABCD) và góc giữa SA và (ABCD) bằng góc SAO bằng 60°.

Xét tam giác SAO vuông tại O, có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\widehat{SAO}=60°$.

Khi đó $SO=AO.\tan \widehat{SAO}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan 60°=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Do đó, $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$.

Ví dụ 3.Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a√3, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, AD = 3a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.\left(AD+BC\right)=\frac{1}{2}.a.\left(3a+a\right)=2a^2$.

Lại có $S_{∆ABD}=\frac{1}{2}AB.AD=\frac{1}{2}.a.3a=\frac{3a^2}{2}$.

Suy ra $S_{∆BCD}=S_{ABCD}-S_{∆ABD}=\frac{a^2}{2}$.

Vậy $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}{S}_{∆BCD}.SA=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO ⊥ (ABCD), AC = 2a√3, BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat{AOB}=90°$; $\widehat{BOC}=60°$; $\widehat{COA}=120°$. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a√2, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Bài 5. Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

• Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• Định lí Thalès trong không gian

• Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

• Công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều

---