Công thức cộng, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức cộng, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức cộng, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Công thức cộng

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb + sina sinb

sin(a – b) = sina cosb + cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a – b) = $\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

tan(a + b) = $\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

b) Công thức nhân đôi

sin2α = 2sinα cosα

cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α

tan2α = $\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$.

c) Công thức hạ bậc

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

${\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau:

a) cos795°;

b) $\tan \frac{7\pi }{12}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì 795° = 75° + 2 ∙ 360° nên ta có:

cos795° = cos75° = cos(30° + 45°) = cos30° cos45° – sin30° sin45°

= $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

b) $\tan \frac{7\pi }{12}=\tan \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$.

Ví dụ 2. Tính: $\sin \frac{\pi }{8}$, $\cos \frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải:

${\sin }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ mà $\sin \frac{\pi }{8}>0$ nên $\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$;

${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ mà $\cos \frac{\pi }{8}>0$ nên $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Ví dụ 3. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = sin2x – sinx + 2cosx – 1.

Hướng dẫn giải:

A = sin2x – sinx + 2cosx – 1

= 2sinx cosx – sinx + 2cosx – 1

= sinx(2cosx – 1) + (2cosx – 1)

= (2cosx – 1)(sinx + 1).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biết $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính $\cos \frac{\pi }{12}$.

Bài 2. Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Tính:

a) sin2α;

b) cos4α.

Bài 3. Cho $\cos \alpha =\frac{5}{13}$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Tính sin2α, cos2α, tan2α, $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$, $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$.

Bài 4. Tính sin2α, cos2α, tan2α, biết:

a) $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

b) $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức:

a) ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =\frac{1}{4}\cos 4\alpha +\frac{3}{4}$;

b) ${\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha =\frac{3}{8}\cos 4\alpha +\frac{5}{8}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

• Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• Định lí Thalès trong không gian

• Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

• Công thức tính thể tích của khối chóp

---