Công thức Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

• Cho ∆ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC.

Tính chất: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Cho ∆ABC cân tại A khi và chỉ khi $\hat{B}=\hat{C}$.

b) Đường trung trực của một đoạn thẳng

Định nghĩa:Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

• Cho d là trung trực của AB khi và chỉ khi $\left(\begin{array}{c}d\perp AB(\text{H}\in d)\\ HA\text{}=HB\end{array}\right)$

Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai nút của đoạn thẳng đó.

• Cho M thuộc đường trung trực của AB khi và chỉ khi MA = MB.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

GT	∆ABC, AB = AC ∆BCD, BC = BD = CD (D và A nằm khác phía đối với BC)
KL	$\widehat{BDA}=?$

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (∆ABC cân)

BD = CD (∆BCD đều)

Cạnh AD chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)

Suy ra ${\hat{D}}_1={\hat{D}}_2$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác, ∆BCD đều nên $\widehat{BDC}={60}^o={\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2$

Suy ra ${\hat{D}}_1={\hat{D}}_2={30}^o$ .

Vậy $\widehat{BDA}={30}^o$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường trung trực của các cạnh AB và BC cắt nhau tại M. Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh AC lấy một điểm E sao cho AD = CE. Chứng minh rằng: MD = ME.

Hướng dẫn giải:

GT	∆ABC cân tại A M là giao hai đường trung trực của AB và BC AD = CE (D Î AB, E Î AC)
KL	MD = ME.

Vì ∆ABC cân tại A nên đường trung trực của cạnh BC đi qua đỉnh A chia góc tại đỉnh A ra làm hai góc bằng nhau ${\hat{\text{A}}}_{\text{1}}\text{=}{\hat{\text{A}}}_{\text{2}}$ (1)

Mặt khác M là giao của ba đường trung trục nên ta có: MA = MB = MC.

Vì MA = MC (cmt) nên ∆MAC cân tại M nên ${\hat{\text{A}}}_{\text{2}}\text{=}{\hat{\text{C}}}_{\text{1}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\hat{\text{A}}}_{\text{1}}\text{=}{\hat{\text{C}}}_{\text{1}}$

Xét ∆ADM và ∆CEM có:

AD = CE (giả thiết)

${\hat{\text{A}}}_{\text{1}}\text{=}{\hat{\text{C}}}_{\text{1}}$ (cmt)

MA = MC (cmt)

Do đó ∆ADM = ∆CEM (c.g.c)

Suy ra MD = ME (hai cạnh tương ứng)

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Từ một đỉnh P thuộc đoạn DC, kẻ một đường thẳng song song với AD, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: Đường trung trực của đoạn MN đi qua điểm A.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

a) ∆AEB = ∆CED

b) Tam giác AEC cân

c) AE là tia phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC.

Bài 3. Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ các đường vuông góc MA, MB lần lượt xuống Ox và Oy. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM, P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng: CP là đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\text{C}}\text{=30°}$. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMB cân.

b) $\text{AM=}\frac{\text{BC}}{\text{2}}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự M và N. Chứng minh rằng:

a) ∆AOM = ∆BOM.

b) Tam giác BOC cân.

c) Tia AO là tia phân giác của góc MAN.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

• Công thức lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Thứ tự thực hiện phép tính, quy tắc chuyển vế

• Công thức tìm căn bậc hai số học của một số không âm

• Công thức về tính chất phép cộng, phép trừ các số thực

---