Công thức Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông từ đó học tốt môn Toán.

. Công thức

Trường hợp 1:Cho ∆ABC vuông tại A và ∆A'B'C' vuông tại A' có AB = A'B', AC = A'C'.

Khi đó: ∆ABC = ∆A'B'C' (hai cạnh góc vuông).

Trường hợp 2:Cho ∆ABC vuông tại A và ∆A'B'C' vuông tại A' có AB = A'B', $\widehat{\text{ABC}}\text{=}\widehat{\text{A'B'C'}}$ .

Khi đó: ∆ABC = ∆A'B'C'(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Trường hợp 3:Cho ∆ABC vuông tại A và ∆A'B'C' vuông tại A' có BC = B'C', $\widehat{\text{ACB}}\text{=}\widehat{\text{A'C'B'}}$ .

Khi đó: ∆ABC = ∆A'B'C' (cạnh huyền – góc nhọn).

Trường hợp 4:Cho ∆ABC vuông tại A và ∆A'B'C' vuông tại A' có BC = B'C', AC = A'C'.

Khi đó: ∆ABC = ∆A'B'C' (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{\text{ABC}}={60}^o$. Kẻ tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Hai đường thẳng BA và ED cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) ∆ABD = ∆EBD

b) ∆ADH = ∆EDC

c) ∆AHC = ∆ECH

Hướng dẫn giải:

GT	∆ABC vuông tại A có AB < AC DE ^BC tại E BA và ED cắt nhau tại H Tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$cắt AC tạiD
KL	a) ∆ABD = ∆EBD b) ∆ADH = ∆EDC c) ∆AHC = ∆ECH

a) Xét ∆ABD và ∆EBD có:

$\widehat{\text{BAD}}\text{=}\widehat{\text{BED}}\text{=90°}$

Cạnh BD chung

$\widehat{\text{ABD}}\text{=}\widehat{\text{DEB}}$ (vì BD là tia phân giác )

Do đó ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Theo câu a: ∆ABD = ∆EBD (cmt)

Suy ra AD = ED (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ADH và ∆EDC có:

$\widehat{\text{DAH}}\text{=}\widehat{\text{DEC}}\text{=90°}$

AD = ED (cmt)

$\widehat{\text{ADH}}\text{=}\widehat{\text{EDC}}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADH = ∆EDC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

c) Từ câu b: ∆ADH = ∆EDC (cmt)

Suy ra AH = EC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆AHC và ∆ECH có:

$\widehat{\text{CAH}}\text{=}\widehat{\text{HEC}}\text{=90°}$

AH = EC (cmt)

Cạnh HC chung

Do đó ∆AHC = ∆ECH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy và tia phân giác Oz. Từ một điểm M trên tia Oz ta hạ MA vuông góc với Ox. MB vuông góc với Oy.

a) Chứng minh OA = OB.

b) Lấy điểm I trên đoạn thẳng AM. Nối I với O. Từ I kẻ một tia tạo với IO một góc bằng góc AIO. Tia này cắt đoạn thẳng MB ở K. Nối O với K. Tính số đo góc IOK.

Hướng dẫn giải:

GT	$\widehat{xOy}$ = 90o MA^ Ox MB^ Oy Oz là tia phân giác $\widehat{xOy}$ .
KL	OA = OB $\widehat{\text{IOK}}\text{=?}$

a) Vì MA⊥ Ox nên $\widehat{\text{MAO}}\text{=90°}$ ;

Vì MB⊥ Oy nên $\widehat{\text{MBO}}\text{=90°}$ .

Do đó $\widehat{\text{MAO}}\text{=}\widehat{\text{MBO}}\text{=90°}$

Xét ∆MAO và ∆MBO có:

$\widehat{\text{MAO}}\text{=}\widehat{\text{MBO}}\text{=90°}$ (cmt)

Cạnh MO chung

$\widehat{\text{MOA}}\text{=}\widehat{\text{MOB}}$ (vì Oz là tia phân giác $\widehat{xOy}$ )

Do đó ∆MAO = ∆MBO (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng)

b) Kẻ OH $\text{⊥}$ IK (H $\in$ IK).

Xét ∆OAI và ∆OHI có:

$\widehat{\text{OAI}}\text{=}\widehat{\text{OHI}}\text{=90°}$

Cạnh OI chung

$\widehat{\text{AIO}}\text{=}\widehat{\text{HIO}}$ (giả thiết)

Do đó ∆OAI = ∆OHI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OA = OH và $\widehat{\text{AOI}}\text{=}\widehat{\text{IOH}}$ (1)

Xét hai tam giác vuông OHK và OBK có:

Cạnh OK chung

OH = OB (= OA)

Vậy ∆OHK = ∆OBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{HOK}}\text{=}\widehat{\text{BOK}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{IOK}}\text{=}\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{xOy}}\text{=}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.90°=45°}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ là đường thẳng AB ta kẻ đoạn thẳng BM vuông góc với BA và BM = BA, trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ là đường thẳng AC ta kẻ đoạn thẳng CN vuông góc với CA và CN = CA. Nối M với N. Chứng minh rằng:

a) ∆MHB = ∆NKC

b) MN // BC

Bài 2. Cho ∆ABC và ∆A’B’C’. Trong ∆ABC kẻ BH ⊥ AC. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Trong ∆A’B’C’ kẻ B’H’ ⊥ A’C’. Tia phân giác góc B’ cắt A’C’ ở D’. Biết rằng $\hat{\text{B}}\text{=}\widehat{\text{B'}}$, BH = B’H’, BD = B’D’. Chứng minh rằng:

a) ∆BHD = ∆B’H’D’;

b) ∆ABC = ∆A’B’C’.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh Bc sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng:

a) ∆HKM = ∆HIB;

b) AH là tia phân giác của góc A.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân gaics của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:

a) BA = BH;

b) ∆HBK = ∆IBK;

c) $\widehat{\text{DBK}}\text{=90°}$.

Bài 5.Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ = 35^o. Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.

a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.

b) Chứng minh AB // HD.

c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng

• Công thức cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

• Công thức lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Thứ tự thực hiện phép tính, quy tắc chuyển vế

• Công thức tìm căn bậc hai số học của một số không âm

---