Các công thức về mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định (hay, chi tiết)

Bài viết Các công thức về mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Các công thức về mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Mệnh đề đảo

- Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

- Để xác định mệnh đề đảo, ta chỉ cần đảo vị trí hai mệnh đề P và Q với nhau.

b) Mệnh đề phủ định

Phủ định của một mệnh đề P là một mệnh đề kí hiệu là $\overline{P}$. Hai mệnh đề P và $\overline{P}$có tính đúng sai trái ngược nhau, tức là:

- Nếu P đúng thì $\overline{P}$sai.

- Nếu P sai thì $\overline{P}$đúng.

Ta có một số nguyên tắc để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề như sau:

+ Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P”.

+ Phủ định của quan hệ = là quan hệ ≠ và ngược lại.

+ Phủ định của quan hệ > là quan hệ ≤ và ngược lại.

+ Phủ định của quan hệ < là quan hệ ≥ và ngược lại.

+ Phủ định liên kết “và” là liên kết “hoặc” và ngược lại.

+ Mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X, P(x)” là: “∃x ∈ X, $\overline{P\left(x\right)}$”.

+ Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, $\overline{P\left(x\right)}$” là “∀x ∈ X, P(x)”.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề đảo đó.

a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

b) P: “(– 3)² > (– 5)²” và Q: “(– 3) > (– 5)”;

c) P: “Tam giác ABC cân tại A” và Q: “Tam giác ABC đều”.

Hướng dẫn giải:

a) - Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau:

“ Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

- Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình thoi”.

Mệnh đề đảo này là mệnh đề đúng, do hình vuông thì có 4 cạnh bằng nhau, 4 góc bằng nhau, hình thoi chỉ cần có 4 cạnh bằng nhau, vậy ABCD là hình vuông thì ABCD là hình thoi.

b) - Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu (– 3)² > (– 5)² thì (– 3) > (– 5)”.

- Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu (– 3) > (– 5) thì (– 3)² > (– 5)²”.

Do (– 3) > (– 5) luôn đúng và (– 3)² = 9, (– 5)² = 25, mà 9 < 25 nên (– 3)² < (– 5)², vậy mệnh đề đảo này là mệnh đề sai.

c) - Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC cân tại A thì tam giác ABC đều”.

- Mệnh đề đảo Q ⇒ P: "Nếu tam giác ABC đều thì ABC là tam giác cân tại A".

Mệnh đề đảo này là mệnh đề đúng, do tam giác ABC đều thì tam giác này có ba cạnh bằng nhau hay AB = AC = BC, mà AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Ví dụ 2. Cho mệnh đề P: “∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0”. Phát biểu mệnh đề P, mệnh đề phủ định của mệnh đề P và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

Hướng dẫn giải:

- Mệnh đề P: “∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0” được phát biểu là: “Với mọi số thực, tổng bình phương của nó với 1 luôn dương”.

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “∃x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0”, mệnh đề này được phát biểu là: “Tồn tại một số thực sao cho tổng bình phương của nó với 1 luôn không dương”.

Ta có: x² ≥ 0 ∀x ∈ ℝ nên suy ra x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 ∀x ∈ ℝ.

Vậy mệnh đề P là mệnh đề đúng, do đó mệnh đề $\overline{P}$là mệnh đề sai.

Ví dụ 3. Cho mệnh đề A: “Phương trình x² – 2x + 3 = 0 có hai nghiệm”. Xét tính đúng sai của mệnh đề $\overline{A}$.

Hướng dẫn giải:

Xét mệnh đề A: “Phương trình x² – 2x + 3 = 0 có hai nghiệm”.

Xét phương trình x² – 2x + 3 = 0 có ∆' = (– 1)² – 1 . 3 = – 2 < 0.

Suy ra phương trình trên vô nghiệm.

Vậy mệnh đề A là mệnh đề sai.

Mà mệnh đề $\overline{A}$ là mệnh đề phủ định của A nên khi A là mệnh đề sai thì $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho các mệnh đề sau:

M: “Một năm có 12 tháng”;

N: “∀ n ∈ ℕ, 2^{n + 1} < 2ⁿ”;

P: “Phương trình 5x² – 5x + 3 = 0 có nghiệm”.

Hãy phát biểu các mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề trên và xét tính đúng sai của nó.

Bài 2. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình thang cân”;

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó.

Bài 3. Cho mệnh đề: “∃ x ∈ ℕ, $\frac{x^2-5x}{2}$<0” . Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định của mệnh đề trên.

Bài 4. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.

a) P: “$-\sqrt{5}>-\sqrt{3}$” và Q: “$-{\sqrt{5}}^3>-{\sqrt{3}}^3$”.

b) P: “Tam giác ABC có $\hat{A}=\hat{B}+\hat{C}$” và Q: “Tam giác ABC có BC² = AB² + AC²”.

Bài 5. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, $\overline{Q}$⇒ P và mệnh đề đảo của các mệnh đề đó.

P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180°”;

Q: “Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn”.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Các công thức về tập hợp và các phép toán trên tập hợp

• Công thức xác định tập xác định của hàm số

• Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai

• Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau

---