Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x1)- f(x2))(x1 - x2) hoặc 
.
Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.
Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y = f(x) = 3x-7 .
b) y = g(x) = -2x+5 .
c) y = h(x) = √(x+2)
Hướng dẫn giải:
a) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.
b) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:
Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.
c) Đkxđ : x ≥ -2.
Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1; x2 ≥ -2 ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a) f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.
b) g(x) = -x2 + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.
Hướng dẫn giải:
a) Lấy x1 ; x2 ∈ R ta có :
+ Với mọi x1 < -1 ; x2 < -1 thì x1 + x2 + 2 < 0
Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.
+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0
Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.
b) Lấy x1 ; x2 ∈ R, xét :
+ Với mọi x1 < 2 ; x2 < 2thì x1 + x2 < 4.
Do đó 
Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.
+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0
Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số 
nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải:
Đkxđ : x ≤ 1.
Ta có:
Lấy x1; x2 < 1 ta có:
Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.
Bài 1: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :
Đáp án: D
Bài 2: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :
Đáp án: C
Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số có tập xác định x < 1.
B. Hàm số có tập xác định x > 1.
C. Hàm số đồng biến trên tập xác định
D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Đáp án: D
Bài 4: Cho hàm số y = x2 - 6x . Hàm số đồng biến khi :
A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 Đáp án: C Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực: Đáp án: A Bài 6: Chứng minh rằng hàm số Hướng dẫn giải: Xét hàm số Lấy x1; x2 ∈ R bất kì, ta có: Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực. Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Hướng dẫn giải: Đkxđ: x ≤ 3/2 . Lấy x1; x2 < 1 bất kì ta có: Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1. Bài 8: Cho hàm số y = x2 - x + 1. Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.
Hướng dẫn giải: f(x) = x2 - x + 1 + Lấy x1; x2 < 1/2 bất kì ta có: Với x1; x2 < 1/2 thì x1 + x2 < 1 nên x1 + x2 - 1 < 0 . Hay + Lấy x1; x2 > 1/2 bất kì ta có x1 + x2 > 1 , suy ra x1 + x2 - 1 > 0 Suy ra Hay Bài 9: Chứng minh hàm số Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định: x ≠ 2 . Lấy x1; x2 > 2. Ta có: Với x1;x2 > 2 ta có: 2 - x1 < 0 ; 2 - x2 < 0 Do đó Vậy hàm số đồng biến với x > 2. Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực. Hướng dẫn giải: Xét hàm số y = f(x) = ax + 3. Lấy x1 ; x2 ∈ R bất kì. Ta có : Để hàm số nghịch biến trên R thì Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác: Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
đồng biến trên tập số thực. 
với x < 1. 
hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .
hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .
đồng biến với x > 2. 
hay a < 0.