Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cách giải Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

A. Phương pháp giải

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Khi đó ta có:

1, c² = ac', b² = ab'

2, a² = b² + c²

3, ah = bc

4, h² = b'.c'

5, 1/h² = 1/b₂ + 1/c₂

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC²= AB²+ AC²

BC²= 5²+ 7²

BC²= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB² = BD.BC

=> BD = AB²/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB²= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC²= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC² = CH.BC = 16.BC

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 16.BC = BC²

⇔ BC² - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC² - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC² = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC² = 50² = 2500

AB² + AC² = 14² + 48² = 2500

=> BC² = AB² + AC²

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD² = AC² + AD² = 14² + 10,5² = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB²+ AC² ( theo định lý py-ta-go)

BC² = 24²+ 32²

BC² = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90^o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Cho biết AH = 6 cm, BH = 4,5 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC, HC.

b) Cho biết AB = 6 cm, BH = 3 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AC, CH.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm và BH = $\frac{3}{4}$ AH.

Bài 3. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{A B}{A C} = \frac{5}{7}$ và AH = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HB và HC.

Bài 5. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD ⊥ BC. Biết AD = 12 cm và DC = 25 cm. Tính độ dài AB, BC và BD.

Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

Chuyên đề Đại Số 9
Chuyên đề: Căn bậc hai
Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
Chuyên đề Hình Học 9
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chuyên đề: Đường tròn
Chuyên đề: Góc với đường tròn
Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

Trang trước

Trang sau

Các loạt bài lớp 9 khác