Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bước 1: Tìm đkxđ.

Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.

Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.

Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu đkxđ và kết luận.

Ví dụ 1: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Phương trình trở thành:

t² + t – 42 = 0 ⇔ (t – 6)(t + 7) = 0

Với t = 6 ⇒

⇔ 2x² + 3x + 9 = 36

⇔ 2x² + 3x - 27 = 0

⇔ (x-3) (2x+9) = 0 .

⇔ x = 3 hoặc x = -9/2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -9/2.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 4x² + 5x + 1 ≥ 0

Phương trình trở thành : a - b = a² - b²

⇔ (a-b)(a+b-1) = 0 ⇔ a - b = 0 hoặc a + b - 1 = 0.

TH1 : a – b = 0 ⇔ 9x – 3 = 0 ⇔ x = 1/3 (t.m đkxđ).

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/3 .

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Phương trình trở thành: t² - (x+3)t + 3x = 0

⇔ (t-3)(t-x) = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = x .

+ t = 3 ⇒ ⇔ x² = 8 ⇔ x = ±2√2 .

+ t = x ⇒ ⇒ x² + 1 = x². Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Bài 1: Cho phương trình: Nếu đặt thì t phải lưu ý điều kiện nào?

A. t ∈ R    B. t ≤ 1

C. t ≥ 1    D. t ≥ -1 .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Bài 2: Số nghiệm của phương trình là:

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình có bao nhiêu phần tử?

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 4: Cho phương trình Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Phương trình có nghiệm âm duy nhất.

B. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

C. Phương trình có 2 nghiệm âm.

D. Phương trình có hai nghiệm dương.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Bài 5: Phương trình có tổng các nghiệm bằng:

A. 3/2    B. 1    C. 2/3    D. -3/2 .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Phương trình trở thành: t + t³ - 30 = 0 ⇔ (t-3)(t² + 3t + 10) = 0 ⇔ t = 3

Thay trả lại biến x ta được:

⇔ x² - 4x + 31 = 27

⇔ x² - 4x + 4 = 0

⇔ (x-2)² = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 7: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ:

Phương trình trở thành:

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

b) Đkxđ: x - 1/x ≥ 0 ; x ≠ 0 .

Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được:

Pt trở thành: t² + 2t - 3 = 0 ⇔ (t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ t = -3(L) hoặc t = 1 (t/m) .

+ t = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm

c) Đkxđ: x ≥ -1 .

Phương trình trở thành : 2a² - 5ab + 2b² = 0

⇔ (2a-b) (a-2b) = 0

⇔ a = b/2 hoặc a = 2b

+ a = b/2 ⇔

⇔ x² - x + 1 = 4(x+1) ⇔ x² - 5x - 3 = 0 ⇔

+ a = 2b ⇔

⇔ x+1 = 4(x² - x + 1)⇔ 4x² -5x + 3 = 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Bài 8: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x² ≤ 15.

Đặt

⇒ a² - b² = (25 - x²) - (15 - x²) = 10

Thay trả lại biến x ta được:

Vậy phương trình có hai nghiệm

b)

Đkxđ: x ≥ 1.

Đặt

⇒ u³ + v² = 2 - x + x - 1 = 1(*)

Mà theo đề bài ta có u + v = 1 ⇒ v = 1 – u

Thay v = 1 – u vào (*) ta được: u³ + (1 – u)² = 1

⇔ u³ + u² – 2u + 1 = 1

⇔ u³ + u² – 2u = 0

⇔ u(u² + u – 2) = 0

⇔ u(u – 1)(u + 2) = 0

⇔ u = 0 hoặc u = 1 hoặc u = -2.

+ u = 0 ⇒ x = 2 (t.m)

+ u = 1 ⇒ x = 1 (t.m)

+ u = -2 ⇒ x = 10 (t.m)

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1; x = 2 và x = 10.

c)

Đkxđ: ∀x ∈ R.

Đặt

⇒ a³ - b³ = 2

⇒ (a – b)(a² + b² + ab) = 2 (*)

Phương trình trở thành: a² + b² + ab = 1 (**)

Thay vào (*) ta được: (a – b).1 = 2 ⇒ a – b = 2 ⇒ a = 2 + b

Thay a = 2 + b vào (**) ta được:

⇔ 3b² + 6b + 3 = 0

⇔ 3(b + 1)2 = 0

⇔ b = -1

⇒ ⇔ x = 0.

Thử lại x = 0 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ 1 .

Đặt

Khi đó

Phương trình trở thành:

a + b = 1 + ab ⇔ ab + 1 – a – b = 0 ⇔ (a – 1)(b – 1) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = 1

+ a = 1 ⇔ √(x-1) = 1 ⇔ x = 2.

+ b = 1 ⇔

⇔ x³ + x² + x = 0

⇔ x(x² + x + 1) = 0

⇔ x = 0 (không t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: -18/5 ≤ x > 64/5 .

Đặt

⇒ a⁴ + b⁴ = 18 - 5x + 64 + 5x = 82(*)

Phương trình trở thành: a + b = 4 (**)

⇒ a² + b² = (a+b)² - 2ab = 16 - 2ab

⇒ a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2a²b² = (16-2ab)² - 2a²b²= 2a²b² - 64ab + 256

Hay 2a²b² - 64ab + 256 = 82

⇔ a²b² - 64ab + 256 = 82

⇔ 2a²b² - 32ab + 87 = 0

⇔ (ab – 3)(ab – 29) = 0

⇔ ab = 3 hoặc ab = 29.

+ ab = 3.

Từ (**) ⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 3 ⇒ (4 – b)b = 3 ⇔ b2 – 4b + 3 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 3) = 0 ⇔

Nếu a = 3; b = 1 ⇒ ⇒ x =

Nếu a = 1; b = 3 ⇒ ⇒ x =

Thử lại cả hai đều là nghiệm của phương trình.

+ Nếu ab = 29

Từ (**)⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 29 ⇒ (4 – b)b= 29 ⇔ b² – 4b + 29 = 0.

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 63/5 và x = -17/5

Bài 1. Giải các phương trình

a) $x^2+2x+\sqrt{2x^2+4x+1}=1;$

b) $\sqrt{x^2+3x+6}+\sqrt{2x^2-1}=3x+1.$

Bài 2. Số nghiệm của các phương trình sau:

a) $x^2-5=\sqrt{5-x};$

b) $2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8};$

c) $4x^2+3(x^2-x)\sqrt{x+1}=2(x^3+1).$

Bài 3. Bạn Nam tiến hành giải phương trình $\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}$ ra hai nghiệm là $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Bạn kết luận “Phương trình có hai nghiệm”. Hãy kiểm tra xem bạn Nam giải phương trình chính xác hay không?

Bài 4. Tổng các nghiệm của hai phương trình là $x+1+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}$ và $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}$.

Bài 5. Giải phương trình $(2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Chuyên đề Đại Số 9
• Chuyên đề: Căn bậc hai
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
• Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
• Chuyên đề Hình Học 9
• Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chuyên đề: Đường tròn
• Chuyên đề: Góc với đường tròn
• Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

---