50+ dạng bài Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian (chọn lọc, có lời giải)

Trang trước Trang sau

Tổng hợp các dạng bài tập Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 sách mới Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 sách mới:

Lưu trữ: Giải Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gian 11 (sách cũ)

Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng

* Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c→ = ma→ + nb→ thì a→ ; b→ ; c→ đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ x ⃗ theo ba vectơ a→; b→; c→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x→ = ma→ + nb→ + pc→ .

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?

A. IK→ = (1/2)AC→ = (1/2)A'C'→

B. Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

C. BD→ + 2IK→ = 2BC→

D. Ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ không đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng hay, chi tiết

Chọn D.

Ta xét các phương án:

+ A đúng do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’.

+ B đúng do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK // AC

⇒ bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

+ C đúng do việc ta phân tích:

+ D sai do giá của ba vectơ BD→ ; IK→ ; B'C'→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→ ; b→ ; c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ + b→, y→ = a→ - b→ - c→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

B. Ba vectơ x→, a→ cùng phương

C. Ba vectơ x→, b→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đôi một cùng phương

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BD→, AK→, GF→ đồng phẳng

B. BD→, IK→, GF→ đồng phẳng

C. BD→, EK→, GF→ đồng phẳng

D. BD→, IK→, GC→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Xét tam giác FAC có I; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

⇒ IK // AC nên IK // mp (ABCD) .

+ BC // GF nên GF // mp(ABCD)

+ Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng hay, chi tiết

Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có một vectơ 0→ thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có giá ba vecto AB→; AD→ và AA'→ đôi một cắt nhau nhưng ba vecto đó không đồng phẳng.

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay

Từ O dựng các đường thẳng d₁, d₂ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d₁ và d₂. Góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ chính là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u₁, u₂ của hai đường thẳng d₁, d₂

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi cos(d₁, d₂) = Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay

Lưu ý 2: Để tính u₁→, u₂→, |u₁→|, |u₂→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u₁→, u₂→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→

A. 45° B. 90° C. 120° D.60°

Hướng dẫn giải:

Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?

A. 90° B. 60° C. 45° D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:

Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng cực hay (do ABCD là hình vuông)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:

A. 45° B. 90° C. 60° D. 120°

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.

Chọn C

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:

+ Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH

+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.

- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

+ MH là đường cao của tam giác MAB thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a²; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a B. 4a C.3a D. 5a

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Hướng dẫn giải

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S.

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Chọn B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học