Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Bài viết Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác.

* Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a; b không cùng phương và vectơ c . Khi đó ba vectơ a; b; c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma + nb. Ngoài ra cặp số (m, n) là duy nhất.

* Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a; b; c. Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc. Ngoài ra bộ ba số (m, n, p) là duy nhất.

* Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và trung điểm đoạn thẳng...

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’. Đặt CA = a, CB = b, AA' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn D

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. AB = b, AC = c, AD = d. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta phân tích:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC' = u, CA' = v, BD' = x, DB' = y. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Áp dụng quy tắc 3 điểm : AB + BC = AC ta được :

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x = AB, y = AC, z = AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M là trung điểm CD

Ta có :

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC' = u, CA' = v, BD' = x, DB' = y. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn A.

+ Gọi J; K lần lượt là trung điểm của AB; CD.

+ Ta có:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn B.

Gọi M là trung điểm BC. Ta có:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a, AC = b, AD = c. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Vì M là trung điểm của BC suy ra BM = (1/2).BC

Ta có

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn A

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b, AC = c, AD = d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Hướng dẫn giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Vì M; P lần lượt là trung điểm của AB; CD ⇒ Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ta có:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn D

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn B.

A. Sai vì

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

B. Đúng vì

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

C. Sai. theo câu B suy ra

D. sai vì BB1 + B1A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA' = a, AB = b, AC = c. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC' qua các vectơ a, b, c.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn D.

Ta có:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 4: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Chọn C

+ A đúng theo định nghĩa trọng tâm tứ diện.

+ B đúng do tính chất của trọng tâm tứ diện.

+ Do G là trọng tâm tứ diện ABCD

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

⇒ D đúng

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k(AC + BD)

A. k = (1/2)                    B. k = (1/3)                    C. k = 3                    D. k = 2

Lời giải:

Chọn A.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 6: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Chọn D

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b, AC = c, AD = d. Khẳng định nào sau đây đúng.

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Chọn D

Xét phương án D; áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc phép trừ hai vecto ta có :

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a, AC = b, AD = c gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt a = AA', b = AB, c = AC. Gọi G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Vectơ AG' bằng:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Gọi I là trung điểm của B’C’

Vì G’ là trọng tâm của tam giác

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Ta có

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn B.

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. a = AA', b = AB, c = AC. Hãy biểu diễn vectơ B'C theo các vectơ a, b, c

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Vì BB’C’C là hình bình hành nên

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn D

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AC = b, AA' = c. Gọi I là trung điểm của B’C’; K là giao điểm của A’I và B’D’. Mệnh đều nào sau đây đúng ?

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Lời giải:

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

+ Vì I là trung điểm của Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Và K là giao điểm của A’I và B’D’ nên theo định lí Talet Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

+ Ta có

Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương

Chọn A.


Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học