Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng định lí ba đường vuông góc để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

I. Phương pháp giải

Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

→ Định lí ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa a và b (có thể chéo nhau) sang kiểm tra tính vuông góc giữa b và a' (cùng thuộc mặt phẳng (P)).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Chứng minh: BC ⊥ SB.

Hướng dẫn giải

Do SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) là AB.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB vuông góc với BC tại B.

Theo định lí ba đường vuông góc thì BC ⊥ SB.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SB tại K. Chứng minh rằng: SC ⊥ BD.

Hướng dẫn giải

Do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A, do đó, hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) là AC.

Mà do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: SC ⊥ BD.

III. Bài tập tự luyện

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P);

B. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b song song với hình chiếu a' của a trên (P);

C. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P);

D. Cho đường thẳng a tùy ý và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. AD;                 

B. CD ;                 

C. AC;                           

D. AB.

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, H là tâm hình vuông ABCD, SH ⊥ (ABCD). Đường thẳng SA vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. AD;                 

B. BD;                           

C. AC;                          

D. AB.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác SDC vuông tại D;

B. Tam giác SDC vuông tại C;

C. Tam giác SDC cân tại S;

D. Tam giác SDC cân tại D.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SB tại K. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. SB ⊥ BC;

B. SC ⊥ BD;

D. SD ⊥ CD;

D. SO ⊥ AC.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = a$\sqrt{2}$ . SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD. Đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng:

A. SC;        

B. AB;                 

C. SD;                 

D. CD.

Câu 7. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng SA vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. BC;                           

B. AB ;                 

C. CA;                           

D. MA.

Câu 8. Cho hình chóp S.MNPQ, MNPQ là hình chữ nhật, trung điểm A của MN là hình chiếu vuông góc của S lên đáy, B là trung điểm của QP. Đường thẳng SN vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

A. AN;                 

B. BM;                

C. AQ;                 

D. AB.

Câu 9. Cho hình chóp S.MNPQ, MNPQ là vuông, A là trung điểm của MN, B là trung điểm của QP, C là trung điểm của MQ, D là trung điểm của NP. Đường thẳng SC vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

A. CB;                           

B. BM;                

C. AC;                           

D. SP.

Câu 10. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng cạnh đáy, K là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Vì HK ⊥ AB và HK là hình chiếu vuông góc của SK lên (ABC) nên SK ⊥ AB;

B.  Vì BH ⊥ AC và BH là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) nên SB ⊥ AC;

C. Vì CH ⊥ AB và CH là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) nên SC ⊥ AB;

D. Vì SK ⊥ AK và AK là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) nên SA ⊥ SK.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

• Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

• Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện

• Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt

---