Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.

1. Phương pháp giải

1.1. Định nghĩa

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

1.2. Các xác định góc giữa hai mặt phẳng

+) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).

+) Lấy A ∈ (Q), dựng AB $\perp$ (P) (B $\in$(P)).

+) Vẽ BH$\perp$ d thì AH $\perp$ d.

Vậy $\widehat{AHB}=\alpha \left(0<\alpha <90°\right)$  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

1.3. Một số dạng hay gặp

Dạng 1: Góc giữa mặt bên và mặt đáy

Phương pháp giải

Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).

+) Dựng đường cao SH $\perp$ (ABC), dựng HE $\perp$ AB.

+) Khi đó AB $\perp$ (SEH).

Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) là $\widehat{SEH}$  .

Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC)

Cách 1: Tính góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Cách 2: Dựng đường cao SH $\perp$ (ABC).

Lấy điểm M bất kì thuộc AC, dựng MN $\perp$ HC.

Lại có MN $\perp$ SH ⇒ MN $\perp$ (SHC) ⇒ MN $\perp$ SC.

Dựng MK $\perp$ SC ⇒ SC $\perp$ (MKN).

Suy ra góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng MK và KN.

>

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình vuông nên CD $\perp$ AD (1).

Mà SA $\perp$ (ABCD) nên CD $\perp$ SA (2).

Từ (1) và (2), suy ra CD $\perp$ (SAD) ⇒ CD $\perp$ SD.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD.

Mà (AD, SD) = $\widehat{SDA}$  .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $\widehat{SDA}$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Hướng dẫn giải:

Vì SA $\perp$ (ABC) ⇒ SA $\perp$ AB mà AB $\perp$ AC ⇒ AB $\perp$ (SAC).

Kẻ AH $\perp$ SC tại H.

Vì AB $\perp$ (SAC) ⇒ AB $\perp$ SC mà AH $\perp$ SC ⇒ SC $\perp$ (ABH) ⇒ SC $\perp$ BH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) chính là góc giữa hai đường thẳng AH và BH.

Mà (AH, BH) = $\widehat{AHB}$ .

Xét ∆SAC vuông tại A có

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$.

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì AB $\perp$ (SAC) ⇒ AB $\perp$AH.

Xét ∆ABH vuông tại A, có $BH=\sqrt{A{B}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

$cos\widehat{AHB}=\frac{AH}{BH}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, $SA=a\sqrt{6}$  và vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng

A. 90°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 60°.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}=60°$ , tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).

A. $\sqrt{3}$;

B. $2\sqrt{3}$;

C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$;

D. $\frac{1}{2}$.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, $BC=2\sqrt{3}$ , cạnh bên $SA=\frac{\sqrt{3}}{2}$  và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC).

A. $\frac{4}{\sqrt{13}}$;

B. $\frac{\sqrt{13}}{4}$;

C. 1;

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, $SA=a\sqrt{3}$ , SA $\perp$ (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là

A. 45°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 30°.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC = a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên $SC=a\sqrt{3}$ và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 45°.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{3}$ . Góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 45°.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết $\widehat{\text{AS}B}=120°$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng:

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 45°.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có . Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối chóp là  $SH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SCD).

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 45°.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 45°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

• Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện

• Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt

• Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng

• Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

---