15 dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian chọn lọc

Trang trước Trang sau

Phần Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán lớp 11 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian tương ứng.

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.

Lời giải

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, chi tiết

Xét các phương án:

+ Phương án A:

Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.

+ Phương án B:

Ta có:

Do đó B đúng

+ Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.

+ Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)

- Vì

+ Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD)

Chọn A

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)

A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD

B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD

C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1)

+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình)

Vì

+ Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD)

Chọn B

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

- Để chứng minh 3 điểm A; B; C thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 1 đường thẳng hoặc chứng minh 3 điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) - Khi đó chúng cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β).

- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo những cách sau:

+ Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

+ Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I; A; C B. I; B; D C. I; A; B D. I; C; D

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD (1)

Lại có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

Từ (1) và (2) suy ra: I ∈ BD hay 3 điểm I; B; D thẳng hàng

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC. Gọi L; M; N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA; SB và AC sao cho LM không song song với AB và LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB; BC và SC lần lượt tại K; I; J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. K; I và J B. M; I và J C. N ; I và J D. M; K và J

Lời giải

Ta có

- M ∈ SB suy ra M isin; (LMN) ∩ (SBC) (1)

- I ∈ BC ⊂ (SBC) và I ∈ NK ⊂ (LMN)

⇒ I ∈ (LMN) ∩ (SBC) (2)

- J ∈ SC ⊂ (SBC) và J ∈ LN ⊂ (LMN)

⇒ J ∈ (LMN) ∩ (SBC) (3)

Vậy M ; I; J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của mp (LMN) và (SBC)

Chọn B

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; M là trung điểm CD; I thuộc đoạn AG; BI cắt mp (ACD) tại J. Chọn mệnh đề sai

A. Giao tuyến của (ACD) và (ABG) là AM

B. 3 điểm A; J; M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của AM.

D. Giao tuyến của mp(ACD) và (BDJ) là DJ.

Lời giải

Ta xét các phương án:

+ Ta có: A là điểm chung thứ nhất giữa hai mp (ACD) và mp (GAB) (1)

Do M là giao điểm của BG và CD nên:

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABG) và (ACD) là AM ⇒ A đúng

+ Ta có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy ⇒ AM và BI đồng phẳng

⇒ J = BI ∩ AM nên 3 điểm A; J; M thẳng hàng → B đúng.

+ Ta có Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

⇒ D đúng

+ Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM.

⇒ C sai

Chọn C

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.

A. IJ // CD

B. IJ // AB

C. IJ và CD chéo nhau

D. IJ cắt AB

Lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

+ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)

+ Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.

A. MP và RT

B. MQ và RT

C. MN và RT

D. PQ và RT

Lời giải

+ Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)

+ Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)

+ Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:

A. EF B. DC C. AD D. AB

Lời giải

+ Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

+ Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD (2)

+ Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Chọn C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học