Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:

   + Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH

   + Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.

- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

   + Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

   + MH là đường cao của tam giác MAB thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a               B. 4a               C.3a               D. 5a

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn đáp án B

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S.

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn D

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

(Định lý 3 đường vuông góc)

⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều).

+ AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C.

⇒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° . Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d(A; SC) = AH

+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a

+ Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Trong tam giác vuông ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn A

+ Kẻ OH ⊥ SC , khi đó d(O; SC) = OH

+ Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn D

+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α

Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH

Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2

+ Xét tam giác vuông OHD:

OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6. Khoảng cách từ B đến SC bằng

A. a√2               B. 2a              C. 2a√3              D. a√3

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn B

+ Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ SB .

+ Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d(B; SC) = BH.

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Trong tam giác SBC vuông tại B ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Gọi M là trung điểm của CD’

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√2 .

+ Tam giác ACD’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥ CD'.

d(A; CD’) = AM = AC.sin(ACM) = a√2.sin60°= (a√6)/2

Đáp án: B

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB’.

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

⇒ AD ⊥ AB'

Xét tam giác ADB’ vuông tại A; đường cao AH:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Đáp án D

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau ?

A. A’, B, C’               B. B, C, D               C. B’, C’, D’               D. A, A’, D’

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Dễ thấy các tam giác ABC’, C’CA, ADC’ là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.

Vậy: d(B; AC’) = d(C; AC’) = d(D; AC’)

Đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Chọn B

Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao

⇒ O là tâm của tam giác ABC.

+ Gọi I là trung điểm cạnh BC.

Tam giác ABC đều nên Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH

Xét tam giác SAO vuông tại O:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Gọi M là trung điểm của CD’

Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√2

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Đáp án: B

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2, BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Bài 2. Cho một khối chóp S.ABC, có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, biết độ dài các cạnh BA = a, BC = 2a và SA = 2a, đồng thời cạnh SA ⊥ (ABC). Gọi K là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng SC. Hãy tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)?

Bài 3. Cho một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật, biết cạnh AD = 2a và vuông góc với đáy, cạnh SA = a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)?

Bài 4. Cho một hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình vuông với cạnh bằng a. Biết tam giác SAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I và F lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AB và AD, hãy tính d(I, (SFC))?

Bài 5. Cho một hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là một hình thang vuông tại A và D, biết độ dài cạnh AD = AB = a và độ dài cạnh CD = 2a, SD = a và SD ⊥ (ABCD).

a) Tính d(D, (SBC)).

b) Tính Tính d(A, (SBC)).

Trang trước Trang sau
Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học