Bài 3.45 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Bài 3.45 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 15 °, \hat{C} = 30 °$ và c = 2.

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b.

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho $\hat{B C D} = \hat{D C A}$ (tức CD là phân giác của góc $\hat{B C A}$ ). Tính độ dài CD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - \hat{B} - \hat{C} = 180 ° - 15 ° - 30 ° = 135 °$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin 135 °} = \frac{b}{\sin 15 °} = \frac{2}{\sin 30 °} = 4$

$\Rightarrow$ a = 4.sin135° = $2 \sqrt{2}$ và b = 4.sin15° = $\sqrt{6} - \sqrt{2} .$

Vậy $\hat{A} = 135 °, a = 2 \sqrt{2}$ và b = $\sqrt{6} - \sqrt{2} .$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

• $S = \frac{1}{2} . a b . \sin C = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} . (\sqrt{6} - \sqrt{2}) . \sin 30 ° = \sqrt{3} - 1.$

• $S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{2 \sqrt{2} . (\sqrt{6} - \sqrt{2}) .2}{4. (\sqrt{3} - 1)} = 2.$

Vậy diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt là $S = \sqrt{3} - 1$ và R = 2.

Bài 3.45 trang 44 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Vì CD là tia phân giác của $\hat{B C A}$ nên $\hat{B C D} = \hat{D C A} = \frac{1}{2} \hat{B C A} = 15 °$

Mà $\hat{B} = 15 °$

Do đó tam giác BCD cân tại D.

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow$ IB = IC = $\frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$ và DI ⊥ BC.

Xét tam giác CDI vuông tại I ta có:

CD = $\frac{C I}{c o s \hat{I C D}} = \frac{\sqrt{2}}{c o s 15 °} = 2 (\sqrt{3} - 1) .$

Vậy CD = $2 (\sqrt{3} - 1) .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác