Bài 3.39 trang 43 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Trang trước Trang sau

Bài 3.39 trang 43 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho sin15° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

a) Tính sin75°, cos105°, tan165°.

b) Tính giá trị của biểu thức:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°.

Lời giải:

Vì 0° < 15° < 90° nên cos15° > 0.

Ta có sin²15° + cos²15° = 1

$\Rightarrow$ ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$ + cos²15° = 1

$\Rightarrow$ cos²15° = $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow$ cos15° = $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}}{4}$

$\Rightarrow$ cos15° $= \frac{\sqrt{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Do đó:

tan15° = $\frac{\sin 15 °}{c o s 15 °} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} : \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

$= \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

a) Ta có:

• sin75° = sin(90° – 15°) = cos15° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4};$

• cos105° = cos(180° – 75°) = –cos75°

= –cos(90° – 15°) = –sin15°

Þ cos105° = $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} .$

• tan165° = tan(180° – 15°) = –tan15°

$\Rightarrow$ tan165° = $- 2 + \sqrt{3} .$

Vậy sin75° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4};$ cos105° = $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ và tan165° = $- 2 + \sqrt{3} .$

b) Ta có:

• sin165° = sin(180° – 15°) = sin15°

$\Rightarrow$ sin165° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4};$

• cos165° = cos(180° – 15°) = –cos15°

$\Rightarrow$ cos165° = $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Khi đó:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°

= $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} . (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} . \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$= - \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} - \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

$= \frac{- 8 - 4 \sqrt{3} - 8 + 4 \sqrt{3}}{16} = - 1.$

Vậy A = –1.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác