Công thức về tính chất trọng tâm của tam giác lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức về tính chất trọng tâm của tam giác trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức về tính chất trọng tâm của tam giác từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Tính chất trọng tâm của tam giác được phát biểu như sau:

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyển đi qua đỉnh ấy.

Cho tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm tam giác:

Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác, ta có: $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$.

Do đó: $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3};\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G.

a) Chứng minh BD = CE;

b) Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

a) Ta có DABC cân tại A nên AB = AC.

mà AB = 2BE; AC = 2CD (vì E, D theo thứ tự là trung điểm của AB, AC).

Do đó 2BE = 2CD hay BE = CD.

Xét DBCE và DCBD có:

BE = CD (chứng minh trên);

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$;

BC là cạnh chung.

Do đó $∆$BCE = $∆$CBD (c.g.c).

Suy ra CE = BD (hai cạnh tương ứng)

b) G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

$BG=\frac{2}{3}BD$ và $CG=\frac{2}{3}CE$ (tính chất trọng tâm).

Mà CG = BG.

Vậy tam giác GBC cân tại G.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD.
Chứng minh ba điểm A, G, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD

Suy ra BC là trung tuyến của tam giác ABD.

Hơn nữa G ∈ BC và BG = 2GC.

Suy ra $GB=\frac{2}{3}BC$.

Do đó, G là trọng tâm tam giác ABD.

Lại có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A, G, E thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, G, E thẳng hàng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh AM ⊥ BC.

b) Tính AM biết rằng AB = 10 cm, BC = 12 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Chứng minh GX = GY = GZ.

Bài 3. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết AD = 4,5 cm; BE = 6 cm. Tính độ dài AB.

Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác tổng độ dài ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn $\frac{3}{4}$ chu vi tam giác đó.

Bài 5. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC.

b) Tính các tỉ số $\frac{GE}{GK};\frac{GC}{DC}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức Bất đẳng thức tam giác

---