Bài 15 trang 197 SBT Toán 9 Tập 2

Bài tập ôn cuối năm

Bài 15 trang 197 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD, CE, CF lần lượt vuông góc với AB, MA, MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được

b) CD² = CE.CF

c) Tứ giác ICKD nội tiếp được

d) IK ⊥ CD

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Ta có:

$\hat{A E C} = 90^{o}$ (do CE vuông góc với AM tại E – gt)

$\hat{A D C} = 90^{o}$ (do CD vuông góc với AB tại D – gt)

=> $\hat{A E C} + \hat{A D C}$ = 90° + 90° = 180°

Do đó, tứ giác AECD nội tiếp được

Ta có:

$\hat{B F C} = 90^{o}$ (do CF vuông góc với BM tại F – gt)

$\hat{B D C} = 90^{o}$ (do CD vuông góc với AB tại D – gt)

=> $\hat{B F C} + \hat{B D C}$ = 90° + 90° = 180°

Do đó, tứ giác BFCD nội tiếp được

Ta có:

$\hat{D_{1}} = \hat{A_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cùng EC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECD) (1)

$\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (góc giữa tia tiếp tuyến với một dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn tâm O) (2)

$\hat{B_{1}} = \hat{F_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFCD) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\hat{D_{1}} = \hat{F_{1}}$

Có :

$\hat{E_{2}} = \hat{A_{2}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECD) (4)

$\hat{B_{2}} = \hat{A_{2}}$ (góc giữa tia tiếp tuyến với một dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn tâm O) (5)

$\hat{B_{2}} = \hat{D_{2}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFCD) (6)

Từ (4), (5) và (6) ta suy ra: $\hat{E_{2}} = \hat{D_{2}}$

Xét tam giác DEC và tam giác FDC có:

$\hat{D_{1}} = \hat{F_{1}}$ (cmt)

$\hat{E_{2}} = \hat{D_{2}}$ (cmt)

Do đó, tam giác DEC và tam giác FDC đồng dạng (góc – góc)

=> $\frac{C D}{C F} = \frac{C E}{C D}$ => CD² = CE.CF

Xét tứ giác ICKD có:

$\hat{I C K} + \hat{I D K}$ = $\hat{I C K} + \hat{D_{1}} + \hat{D_{2}}$ = $\hat{I C K} + \hat{B_{1}} + \hat{A_{2}}$ = 180°

Do đó, tứ giác ICKD nội tiếp được

Ta có:

$\hat{C I K} = \hat{D_{2}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICKD)

Mà: từ (5) và (6) ta suy ra: $\hat{A_{2}} = \hat{D_{2}}$

=> $\hat{C I K} = \hat{A_{2}}$

Do đó, IK // AB (hai góc đồng vị bằng nhau)

Mà CD vuông góc với AB (gt)

Do đó, CD vuông góc với IK

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-tap-on-cuoi-nam.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác