Bài 14 trang 197 SBT Toán 9 Tập 2

Bài tập ôn cuối năm

Bài 14 trang 197 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được

b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF

c) Tứ giác BCMF nội tiếp được

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Ta có: $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác ABEF có:

$\hat{A B E} = \hat{A B D} = 90^{o}$

$\hat{A F E} = 90^{o}$ (do EF vuông góc với AD tại F)

=> $\hat{A B E} + \hat{A F E}$ = 90° + 90° = 180°

Do đó, tứ giác ABEF nội tiếp được

Tứ giác DCEF ta có:

$\hat{D C E} = \hat{D C A} = 90^{o}$

$\hat{D F E} = 90^{o}$ (do EF vuông góc với AD tại F)

=> $\hat{D C E} + \hat{D F E}$ = 90° + 90° = 180°

Do đó, tứ giác DCEF nội tiếp tiếp được

$\hat{C_{1}} = \hat{D_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB) (1)

$\hat{C_{2}} = \hat{D_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}$

Vậy CA là tia phân giác các góc BCF

Tam giác DEF vuông tại F

Có FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ta có:

FM = MD = ME = $\frac{1}{2}$ DE

Do đó, tam giác DMF cân tại M

=> $\hat{D_{1}} = \hat{M F D}$ (tính chất tam giác cân)

Có: Góc BMF là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác DMF nên:

$\hat{B M F} = \hat{D_{1}} + \hat{M F D} = 2 \hat{D_{1}}$ (3)

Theo câu b ta có: $\hat{B C F} = \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 2 \hat{D_{1}}$ (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: $\hat{B M F} = \hat{B C F}$

Vậy C và M cùng nhìn BF dưới một góc bằng nhau nên tứ giác BCMF nội tiếp được

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-tap-on-cuoi-nam.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác