Bài 34 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2

Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 34 trang 42 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:

a. Các cạnh của tam giác BGD bằng $\frac{2}{3}$ các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Các đường trung tuyến của tam giá BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC.

Giải sách bài tập Toán 7 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 7

Lời giải:

a. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.

Ta có: AG = GD (gt)

AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2GM

Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD

Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:

BM = CM (gt)

$\hat{B M D} = \hat{C M G}$ (đối đỉnh)

MD = GM (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBMD = ΔCMG (c.g.c)

⇒ BD = CG (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: CG = $\frac{2}{3}$ CP (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: BD = $\frac{2}{3}$ CP (1)

Lại có: BG = $\frac{2}{3}$ BN (tính chất đường trung tuyến) (2)

Và AG = $\frac{2}{3}$ AM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = $\frac{2}{3}$ AM (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng $\frac{2}{3}$ các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Ta có: GM = MD (chứng minh trên)

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác BGD.

Suy ra: BM = $\frac{1}{2}$ BC (4)

Kẻ đường trung tuyến GE và DF của tam giác BGD, ta có:

FG = $\frac{1}{2}$ BG (tính chất đường trung tuyến)

GN = $\frac{1}{2}$ GB (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: FG = GN

Xét ΔDFG và ΔANG, ta có:

AG = GD (gt)

$\hat{D G F} = \hat{A G N}$ (hai góc đối đỉnh)

GF = GN (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDFG = ΔANG (c.g.c)

⇒ DF = AN (hai cạnh tương ứng)

Mà AN = $\frac{1}{2}$ AC (gt)

Suy ra: DF = $\frac{1}{2}$ AC (5)

Mặt khác: BD = CG (chứng minh trên)

ED = BD (vì E là trung điểm BD)

GP = $\frac{1}{2}$ CG (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: ED = GP

Lại có: ΔBMD = ΔCMG (chứng minh trên)

$\Rightarrow \hat{B D M} = \hat{C G M}$ hay $\hat{E D G} = \hat{C G M}$

$\hat{C G M} = \hat{P G A}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra: $\hat{E D G} = \hat{P G A}$

AG = GD (gt)

Suy ra: ΔPGA = ΔEDG (c.g.c)

⇒ GE = AP mà AP = $\frac{1}{2}$ AB (gt)

Do đó: GE = $\frac{1}{2}$ AB (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ΔBGD bằng một nửa cạnh của ΔABC.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 7 (SBT Toán 7) khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

Trang trước

Trang sau

bai-4-tinh-chat-ba-duong-trung-tuyen-cua-tam-giac.jsp

Giải bài tập lớp 7 sách mới các môn học