Công thức khai triển nhị thức Newton lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức khai triển nhị thức Newton lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức khai triển nhị thức Newton từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Công thức nhị thức Newton:

Khai triển (a + b)ⁿ được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có:

${\displaystyle {(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\mathrm{\dots }+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\mathrm{\dots }+C_n^n{b}^n}$ (1)

Quy ước a⁰ = b⁰ = 1.

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.

c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: ${\displaystyle T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k}$.

Hệ quả:

Với a = b = 1 thì ta có ${\displaystyle 2^n=C_n^0+C_n^1+\mathrm{\dots }+C_n^n}$.

Với a = 1; b = -1, ta có ${\displaystyle 0=C_n^0-C_n^1+\mathrm{\dots }+{(-1)}^k{C}_n^k+\mathrm{\dots }+{(-1)}^n{C}_n^n.}$

Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khai triển:

a) (1 + x)⁴;

b) (x – 1)⁵;

c) (2x + y)⁴;

d) (x – 3y)⁵.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có (1 + x)⁴ =  $C_4^0{1}^4+C_4^1{1}^{3}x+C_4^2{1}^2{x}^2+C_4^{3}1x^3+C_4^4{x}^4$ = $1+4x+6x^2+4x^3+x^4$.

b) Ta có: (x – 1)⁵ = x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1.

c) Ta có (2x + y)⁴ =  $C_4^0{(2x)}^4+C_4^1{(2x)}^3.y+C_4^2{(2x)}^2.y^2+C_4^3(2x).y^3+C_4^4{y}^4$

= 16x⁴ + 32x³y + 24x²y² + 8xy³ + y⁴.

d) Ta có: (x – 3y)⁵ = x⁵ – 5x⁴(3y)¹ + 10x³(3y)² – 10x²(3y)³ + 5x¹(3y)⁴ – (3y)⁵

                              = x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Ví dụ 2. Khai triển:

a) ${\displaystyle {(x^2+\frac{1}{x})}^4}$;

b) ${(x-\frac{1}{x})}^5$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3.

a) Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển (2x – 1)⁴;

b) Tìm số hạng chứa ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ trong khai triển ${\displaystyle {(2x-\frac{1}{x^2})}^4}$, x $\ne$ 0.

Hướng dẫn giải:

a) Ta xét khai triển (2x – 1)⁴ có số hạng tổng quát là:

${\displaystyle C_4^k{(2x)}^{4-k}{(-1)}^k={(-1)}^k{C}_4^k{2}^{4-k}{x}^{4-k}.}$

Số hạng chứa x³ trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 – k = 3 Þ k = 1.

Vậy số hạng chứa x³ trong khai triển là: ${\displaystyle {(-1)}^1{C}_4^1{2}^3{x}^3=\mathrm{ }-32x^3}$.

b) Ta xét khai triển ${\displaystyle {(2x-\frac{1}{x^2})}^4}$ (với x $\ne$ 0) có số hạng tổng quát là

${\displaystyle C_4^k{(2x)}^{4-k}{(-\frac{1}{x^2})}^k={(-1)}^k{C}_4^k{2}^{4-k}{x}^{4-3k}}$.

Số hạng chứa ${\displaystyle \frac{1}{x^2}=x^{-2}}$ trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:

4 – 3k = –2 $\iff$ k = 2

Vậy số hạng chứa ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ trong khai triển là ${\displaystyle {(-1)}^2{C}_4^2{2}^{4-2}{x}^{4-3.2}=\frac{24}{x^2}}$.

Ví dụ 4.

a) Tìm hệ số của số hạng chứa x⁴ trong khai triển (2 + 3x)⁵;

b) Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x – 2)⁴;

c) Tìm hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển ${\displaystyle {(x^3+\frac{1}{x})}^5}$ (với x $\ne$ 0);

d) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ${(\frac{x}{2}+\frac{4}{x})}^4$ với x $\ne$ 0.

Hướng dẫn giải:

a) Ta xét khai triển (2 + 3x)⁵ có số hạng tổng quát là ${\displaystyle C_5^k{2}^{5-k}{(3x)}^k=C_5^k{2}^{5-k}{3}^k{x}^k}$.

Số hạng chứa x⁴ trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: k = 4.

Vậy hệ số của số hạng chứa x⁴ trong khai triển là: $C_5^4{2}^{5-4}{3}^4=810$.

b) Ta xét khai triển (3x – 2)⁴ có số hạng tổng quát là

${\displaystyle C_4^k{(3x)}^{4-k}{(-2)}^k=C_4^k{3}^{4-k}{(-2)}^k{x}^{4-k}}$.

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 – k = 1 Þ k = 3.

Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: ${\displaystyle C_4^3{3}^{4-3}{(-2)}^{3}x=-96x}$.

c) Ta xét khai triển ${\displaystyle {(x^3+\frac{1}{x})}^5}$ (với x $\ne$ 0) có số hạng tổng quát là

${\displaystyle C_5^k{\left(\frac{1}{x}\right)}^k\cdot {\left(x^3\right)}^{5-k}=C_5^k\cdot x^{15-4k}}$.

Số hạng chứa x³ tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15 – 4k = 3 Û k = 3.

Vậy hệ số của số hạng chứa x³ là ${\displaystyle C_5^3=10}$.

d) Ta xét khai triển ${(\frac{x}{2}+\frac{4}{x})}^4$ (với x $\ne$ 0) có số hạng tổng quát là

$C_4^k.{\left(\frac{x}{2}\right)}^{4-k}{\left(\frac{4}{x}\right)}^k=C_4^k\cdot 2^{3k-4}\cdot x^{4-2k}$.

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:

4 – 2k = 0 $\iff$ k = 2.

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là $C_4^2.{\left(2\right)}^{3.2-4}=24$.

Ví dụ 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)⁵.

Hướng dẫn giải:

Đặt (1 – 2x)⁵ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₅x⁵.

Cho x = 1 ta có tổng các hệ số a₀ + a₁ + a₂ + … + a₅ = (1 – 2)⁵ = –1.

Ví dụ 6. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(x+\frac{2}{x^4})}^n.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: n ³ 2, n $\in$ ℕ*   (1)

Có $C_n^1+C_n^2=15$

$\iff$ $n+\frac{n(n-1)}{2}=15$

$\iff$ n² + n – 30 = 0

 n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = –6 (loại).

Khi đó, số hạng tổng quát của khai triển ${(x+\frac{2}{x^4})}^n$ là $C_5^k{.2}^k{x}^{5-k}.{\left(\frac{1}{x^4}\right)}^k=C_5^k{.2}^k{x}^{5-5k}$

Số hạng không chứa x tương ứng 5 – 5k = 0 $\iff$ k = 1

Suy ra số hạng không chứa x là: $C_5^1{.2}^1=10$.

Ví dụ 7. Tìm các số nguyên a, b biết ${\displaystyle {(4-\sqrt{3})}^5-{(4+\sqrt{3})}^5=a+b\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Vậy a = 0, b = -3538.

Ví dụ 8. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,03)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,03⁵.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (1 + 0,03)⁵ = 1 + 5.(0,03) + 10.(0,03)² + 10.(0,03)³ + 5.(0,03)⁴ + (0,03)⁵

Vậy 1,03⁵ = (1 + 0,03)⁵ » 1 + 5.(0,03) = 1,15.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khai triển:

a) (2x – 3)⁴;

b) (x + 2y)⁴;

c) ${\displaystyle {(\frac{1}{x}+x^3)}^4}$;

d) $\frac{x}{y}=\frac{4}{17}$ và 5x – y = –51;

e) (xy + 2)⁵.

Bài 2. Khai triển các nhị thức sau:

a) (3a + 5b)⁴;

b) (-2x² + y)⁵;

c) ${\displaystyle {(4x-7y^2)}^3}$;

d) ${\displaystyle {(x^3+2y^2)}^3}$;

e) ${\displaystyle {(\frac{2}{x}+3y)}^4}$;  

f) ${\displaystyle {(x^2-\frac{3}{2x})}^5}$.

Bài 3. Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x – 1)⁵.

Bài 4. Biểu diễn ${\displaystyle {(3+\sqrt{2})}^5-{(3-\sqrt{2})}^5}$ dưới dạng ${\displaystyle a+b\sqrt{2}}$ với a, b là các số nguyên.

Bài 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0,02)⁴ để tính giá trị gần đúng của 0,98⁴.

Bài 6. Cho a, b là các số nguyên khác 0. Tìm các số hạng là các số nguyên trong khai triển của ${\displaystyle {(a\sqrt{2}\mathrm{ }-b\sqrt[3]{3})}^5}$.

Bài 7.

a) Tìm hệ số chứa x³ trong khai triển nhị thức ${\displaystyle {(2x^3+\frac{1}{x})}^5}$ với x ¹ 0;

b) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức ${\displaystyle {(\frac{2}{3x^3}+x)}^4}$ với x ¹ 0;

c) Tìm số hạng chứa x¹² trong khai triển nhị thức ${\displaystyle {(-x^2+7x^3)}^5}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Quy tắc cộng
• Quy tắc nhân
• Công thức tính số hoán vị
• Công thức tính số chỉnh hợp
• Công thức tính số tổ hợp

---