Công thức khai triển nhị thức Newton lớp 10 (hay, chi tiết)
Bài viết Công thức khai triển nhị thức Newton lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức khai triển nhị thức Newton từ đó học tốt môn Toán.
1. Công thức
Công thức nhị thức Newton:
Khai triển (a + b)n được cho bởi công thức sau:
Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có:
(1)
Quy ước a0 = b0 = 1.
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)
a) Số các hạng tử là n + 1.
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: .
Hệ quả:
Với a = b = 1 thì ta có .
Với a = 1; b = -1, ta có
Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Khai triển:
a) (1 + x)4;
b) (x – 1)5;
c) (2x + y)4;
d) (x – 3y)5.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có (1 + x)4 = = .
b) Ta có: (x – 1)5 = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1.
c) Ta có (2x + y)4 =
= 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4.
d) Ta có: (x – 3y)5 = x5 – 5x4(3y)1 + 10x3(3y)2 – 10x2(3y)3 + 5x1(3y)4 – (3y)5
= x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5.
Ví dụ 2. Khai triển:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3.
a) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (2x – 1)4;
b) Tìm số hạng chứa trong khai triển , x 0.
Hướng dẫn giải:
a) Ta xét khai triển (2x – 1)4 có số hạng tổng quát là:
Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 – k = 3 Þ k = 1.
Vậy số hạng chứa x3 trong khai triển là: .
b) Ta xét khai triển (với x 0) có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:
4 – 3k = –2 k = 2
Vậy số hạng chứa trong khai triển là .
Ví dụ 4.
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (2 + 3x)5;
b) Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x – 2)4;
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (với x 0);
d) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển với x 0.
Hướng dẫn giải:
a) Ta xét khai triển (2 + 3x)5 có số hạng tổng quát là .
Số hạng chứa x4 trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: k = 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển là: .
b) Ta xét khai triển (3x – 2)4 có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa x trong khai triển ứng với giá trị k thỏa mãn: 4 – k = 1 Þ k = 3.
Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: .
c) Ta xét khai triển (với x 0) có số hạng tổng quát là
.
Số hạng chứa x3 tương ứng với giá trị k thỏa mãn: 15 – 4k = 3 Û k = 3.
Vậy hệ số của số hạng chứa x3 là .
d) Ta xét khai triển (với x 0) có số hạng tổng quát là
.
Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn:
4 – 2k = 0 k = 2.
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là .
Ví dụ 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)5.
Hướng dẫn giải:
Đặt (1 – 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a5x5.
Cho x = 1 ta có tổng các hệ số a0 + a1 + a2 + … + a5 = (1 – 2)5 = –1.
Ví dụ 6. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: n ³ 2, n ℕ* (1)
Có
n2 + n – 30 = 0
n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = –6 (loại).
Khi đó, số hạng tổng quát của khai triển là
Số hạng không chứa x tương ứng 5 – 5k = 0 k = 1
Suy ra số hạng không chứa x là: .
Ví dụ 7. Tìm các số nguyên a, b biết .
Hướng dẫn giải:
Vậy a = 0, b = -3538.
Ví dụ 8. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,03)5 để tính giá trị gần đúng của 1,035.
Hướng dẫn giải:
Ta có: (1 + 0,03)5 = 1 + 5.(0,03) + 10.(0,03)2 + 10.(0,03)3 + 5.(0,03)4 + (0,03)5
Vậy 1,035 = (1 + 0,03)5 » 1 + 5.(0,03) = 1,15.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Khai triển:
a) (2x – 3)4;
b) (x + 2y)4;
c) ;
d) và 5x – y = –51;
e) (xy + 2)5.
Bài 2. Khai triển các nhị thức sau:
a) (3a + 5b)4;
b) (-2x2 + y)5;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
Bài 3. Tìm hệ số của x4 trong khai triển của (3x – 1)5.
Bài 4. Biểu diễn dưới dạng với a, b là các số nguyên.
Bài 5. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0,02)4 để tính giá trị gần đúng của 0,984.
Bài 6. Cho a, b là các số nguyên khác 0. Tìm các số hạng là các số nguyên trong khai triển của .
Bài 7.
a) Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển nhị thức với x ¹ 0;
b) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức với x ¹ 0;
c) Tìm số hạng chứa x12 trong khai triển nhị thức .
Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:
- Quy tắc cộng
- Quy tắc nhân
- Công thức tính số hoán vị
- Công thức tính số chỉnh hợp
- Công thức tính số tổ hợp
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 6
- Soạn Văn 6 (bản ngắn nhất)
- Soạn Văn 6 (siêu ngắn)
- Văn mẫu lớp 6
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 6 (có đáp án)
- Giải vở bài tập Ngữ văn 6
- Giải bài tập Toán 6
- Giải SBT Toán 6
- Đề kiểm tra Toán 6 (200 đề)
- Giải bài tập Vật lý 6
- Giải SBT Vật Lí 6
- Giải bài tập Sinh học 6
- Giải bài tập Sinh 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Sinh học 6
- Bài tập trắc nghiệm Sinh học 6
- Giải bài tập Địa Lí 6
- Giải bài tập Địa Lí 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 6
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6
- Giải SBT Tiếng Anh 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6 thí điểm
- Giải SBT Tiếng Anh 6 mới
- Giải bài tập Lịch sử 6
- Giải bài tập Lịch sử 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Lịch sử 6
- Giải tập bản đồ Lịch sử 6
- Giải bài tập GDCD 6
- Giải bài tập GDCD 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 6
- Giải bài tập tình huống GDCD 6
- Giải BT Tin học 6
- Giải BT Công nghệ 6