15 Bài tập Phân thức đại số (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 8

Đáp án đúng là: D

$\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Đáp án đúng là: D

Phân thức $\frac{5\text{x}-7}{{\text{x}}^2-9}$ có nghĩa khi và chỉ khi x² - 9 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \pm 3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ và ${\text{3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}{\text{ = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$

$\Rightarrow {\text{5x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ $\Rightarrow \frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}\text{=}\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: ${\text{x}}^2-2\text{x}+1\ne 0$ ⇔ ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ne 0$ ⇔ x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 0

Ta có: $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}=0$ ⇔ x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{c}x=1\left(L\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Với $\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}$, ta có:

$\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}$

$M\left(4x^2-9\right)=\left(6x^2+9x\right)\left(2x-3\right)$

M(2x - 3)(2x + 3) = 3x(2x + 3)(2x - 3)

=> M = 3x

Đáp án đúng là: B

Để phân thức $\frac{2\text{x}-5}{3}<0$ thì 2x - 5 < 0 hay 2x < 5.

Do đó $\text{x}<\frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: x² - 2x + 5 = x² - 2x + 1 + 4 = (x - 1)² + 4

Vì ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ nên ${\left(\text{x}-1\right)}^2+4\ge 4\forall \text{x}\in ℝ$ hay ${\text{x}}^2-2\text{x}+5\ge 4$.

Do đó $\frac{16}{{\text{x}}^2-2\text{x}+5}\le \frac{16}{4}$ hay A ≤ 4.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x - 1)² = 0 hay x = 1.

Vậy với x = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất là 4.

Đáp án đúng là: D

Do a > b > 0 nên a – b > 0, a + b > 0

Khi đó (a – b)(a + b) > 0

Ta có: $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a + b}\right)}\text{=}\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với (a−b) ta được:

$\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$ = $\frac{\left(\text{a + b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}$ = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}\text{<}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$ (do 0 < a² - b² < a² + b²)

Đáp án đúng là: C

$\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}\text{=}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{4x}-\text{3x + 12}}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}$

= $\frac{\text{x}\left(\text{x}-\text{4}\right)-\text{3}\left(\text{x}-\text{4}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\left(\text{x}-\text{4}\right)\left(\text{x}-\text{3}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\text{x}-\text{4}}{\text{x}-\text{3}}$.

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức của hai phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là 2(x – 3) và (x - 3)³ nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là (x - 3)³.

Do đó mẫu thức chung là 2(x - 3)³.

Đáp án đúng là: A

Mẫu chung của các phân thức là xyz

Nhân tử phụ của $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ là yz nên $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{y}$ là xz nên $\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{\text{3}}{\text{z}}$ là xy nên $\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

Vậy quy đồng mẫu số các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được

$\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$ có mẫu thức lần lượt là: 2 - x; (x - 2)² và x² + 4x + 4 = (x + 2)² nên mẫu thức chung là (x - 2)²(x + 2)².

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x + 2 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \frac{-2}{3}$

Để $\frac{5}{3\text{x}+2}\in \mathbb{Z}$ thì (3x + 2) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Với 3x + 2 = -5, ta có $\text{x}=-\frac{7}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = -1, ta có x = -1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 1, ta có $\text{x}=-\frac{1}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 5, ta có x = 1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Vậy có hai giá trị x để phân thức $\frac{5}{3\text{x}+2}$ có giá trị là một số nguyên.

Đáp án đúng là: B

Ta có các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ có mẫu thức lần lượt là:

3 – 3x = 3(1 – x); 4x + 4 = 4(x + 1) và 2(x² – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

Vì (x – 1)(x + 1) = x² – 1 và BCNN(2; 3; 4) = 12 nên mẫu thức chung của các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ là 12(x – 1)(x + 1)

Vậy An sai, Bình đúng.

Đáp án đúng là: A

A = $\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-{\text{x}}^{\text{3}}-\text{x + 1}}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x^2+x+1\right)+2\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+2}$.

Ta có: ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ và ${\text{x}}^2+2>0\forall \text{x}\in ℝ$ nên A = $\frac{{\left(\text{x}-1\right)}^2}{{\text{x}}^2+2}\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$

Vậy A luôn nhận giá trị không âm với mọi x.