13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Trang trước Trang sau

Với 13 bài tập trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.

Lý thuyết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết)

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{a} (1; - 1)$ và $\vec{b} (- 1; 1)$ .

B. $\vec{n} (1; 1)$ và $\vec{k} (2; 0)$ .

C. $\vec{u} (2; 3)$ và $\vec{v} (4; 6)$ .

D. $z (a; b)$ và $\vec{t} (- b; a)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \neq 0.$ Suy ra hai vecto > $\vec{u}, \vec{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Câu 2. Góc giữa vectơ $\vec{a} (- 1; - 1)$ và vecto $\vec{b} (- 1; 0)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 1) . (- 1) + (- 1) .0 = 1, |\vec{a}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}, |\vec{b}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}} = 1.$

$\Rightarrow c o s (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a} . \vec{b}) = 45 ° .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là 45°.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{0} .$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2} .$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a $\sqrt{2}$ .

Ta có $\vec{A B} (a; 0)$ , $\vec{B D} (- a; a)$ , $\vec{A C} (a; a)$ , $\vec{B C} (0; a)$ , $\vec{B A} (- a; 0)$ .

Khi đó:

+) $\vec{A B} . \vec{B D} = a . (- a) + 0. a = - a^{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{B D}}{|\vec{A B}| . |\vec{B D}|} = \frac{- a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B D}) = 135^{0} .$ Do đó A sai.

+) $\vec{A C} . \vec{B C}$ > = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = \frac{\vec{A C} . \vec{B C}}{|\vec{A C}| . |\vec{B C}|} = \frac{a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0} .$ Do đó B đúng

+) $\vec{A C} . \vec{B D} = a . (- a) + a . a = 0$ . Do đó C sai.

+) $\vec{B A} . \vec{B D}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Câu 4. Khi nào thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc?

A. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1;

B. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = - 1;

C. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0;

D. a.b = -1.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc khi $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3), B(0; 4) và C(2x – 1; 3x²). Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\vec{A B} . \vec{A C} = 2$

A. $\frac{- 2}{3}$ ;

B. $\frac{- 8}{3}$ ;

C. $\frac{- 5}{3}$ ;

D. 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (2 x; 3 x^{2} - 3)$ .

Khi đó: $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{5}{3} \end{array}$

Tổng hai nghiệm là 1 + $(- \frac{5}{3})$ = $\frac{3}{3} + (- \frac{5}{3}) = - \frac{2}{3} .$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3} .$

Câu 6. Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương.

A. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một góc tù;

B. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc bẹt;

C. Khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 0⁰;

D. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Câu 7. Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

A. $\vec{u} . \vec{v}$ = 0;

B. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0° hoặc 180°;

C. $\vec{u} . \vec{v}$ = 1;

D. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 90°.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})$

$\Leftrightarrow {(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {[|\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} . c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v})$

Để ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2}$ thì $c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c os (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ c os (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0} \end{array}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} .$

Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

A. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ;

B. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4}$ ;

C. $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ;

D. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B} . \vec{A C}) = A B . A C . \cos B A C = b c . c osBAC$

Theo định lí cos, ta có:

$cosBAC= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 9. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} (1; - 3), \vec{v} (\sqrt{7}; - 2)$ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của k.

A. k chia hết cho 2;

B. k là một số hữu tỉ;

C. k là một số nguyên dương;

D. k là một số vô tỉ.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k = \vec{u} . \vec{v} = 1. \sqrt{7} + (- 3) . (- 2) = \sqrt{7} + 6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong trường hợp $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4)$ .

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho hình chữ nhật $A B C D, A B = 4 a, A D = 3 a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A B, G$ là trọng tâm tam giác $A C M$ .

13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10 (ảnh 1)

a) $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{B A} - 3 \vec{B C}$ .

b) $\vec{B G} = \frac{3}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C} .$

c) $\vec{B C} \cdot \vec{B A} = 0$ .

d) $\vec{B G} \cdot \vec{C M} = - a^{2} .$

Hiển thị đáp án

a) Sai. Ta có $\vec{C M} = \vec{B M} - \vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{B A} - \vec{B C}$ .

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $A C M$ nên

$3 \vec{B G} = \vec{B A} + \vec{B M} + \vec{B C}$ $= \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ $= \frac{3}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ $\Rightarrow \vec{B G} = \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

c) Đúng. Vì $A B C D$ là hình chữ nhật nên $B A ⊥ B C$ , suy ra $\vec{B C} \cdot \vec{B A} = 0$ .

d) Sai. Ta có

$\vec{B G} \cdot \vec{C M}$ $= (\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{B A} - \vec{B C})$ $= \frac{1}{4} {\vec{B A}}^{2} - \frac{1}{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C} - \frac{1}{3} {\vec{B C}}^{2}$

$= \frac{1}{4} \cdot {(4 a)}^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(3 a)}^{2} = a^{2} .$ ( $B C = A D = 3 a$ ).

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Biết $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2$ và $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ .

Tính $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hiển thị đáp án

Ta có

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ $= 3 \cdot 2 \cdot \cos 120 ° = - 3$ .

${|\vec{a} - 2 \vec{b}|}^{2} = {(\vec{a} - 2 \vec{b})}^{2}$ $= {\vec{a}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {\vec{b}}^{2}$ $= {|\vec{a}|}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {|\vec{b}|}^{2}$ $= 3^{2} - 4 \cdot (- 3) + 4 \cdot 2^{2} = 37$

$\Rightarrow |\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{37} \approx 6, 1$ .

Đáp án: 6,1.

Câu 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\hat{B} = 30 °, A C = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C .$ Tính giá trị của biểu thức $P = \vec{A M} \cdot \vec{B M} .$

Hiển thị đáp án

Ta có $△ A B C$ vuông tại $A$ có $A B = \frac{A C}{\tan B} = \frac{2}{\tan 30 °} = 2 \sqrt{3} .$

Suy ra $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}}$ $= \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = 4.$

$P = \vec{A M} \cdot \vec{B M}$ $= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \frac{1}{2} \vec{B C}$ $= \frac{1}{4} (\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{A C} \cdot \vec{B C})$

$= \frac{1}{4} (- A B \cdot B C \cdot \cos B + A C \cdot B C \cdot \cos C)$ $= \frac{1}{4} (- 2 \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30 ° + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60 °) = - 2.$

Đáp án: −2.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác