Phương trình tanx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình tanx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình tanx = m.

1. Phương trình tanx = m

Phương trình tanx = m có nghiệm với mọi m.

Với mọi m $\in ℝ$, tồn tại duy nhất α ∈ $\left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thỏa mãn tanα = m. Khi đó

tanx = m $\iff$ tanx = tanα $\iff$ x = α + k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì:

tanx = tanα^o $\iff$ x = α^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình tanx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) tanx = tan35^o.

b) tanx = tan$\frac{4\pi }{5}$.

c) tan(6x – $\pi$) = tan2x.

Hướng dẫn giải

a) tanx = tan35^o $\iff$ x = 35^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 35^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) tanx = tan$\frac{4\pi }{5}$$\iff$ x = $\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) tan(6x – $\pi$) = tan2x $\iff$ 6x – $\pi$ = 2x + k$\pi$$\iff$ x $=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) tan3x – 1= 0.

b) tan2x + 4 = 0.

c) tan³x – tanx = 0.

Hướng dẫn giải

a) tan3x – 1= 0 $\iff$ tan3x = 1 $\iff$ tan3x = tan$\frac{\pi }{4}$

$\iff$ 3x $=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $\iff$ x $=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) tan2x + 4 = 0 $\iff$ tan2x = –4

Gọi α ∈ $\left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ sao cho tanα = –4. Khi đó ta có:

tan2x = –4 $\iff$ tan2x = tanα $\iff$ 2x = α + k$\pi$$\iff$ x = $\frac{\alpha }{2}+\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\alpha }{2}+\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) tan³x – tanx = 0 $\iff$ tanx $\left({\tan }^{2}x-1\right)=0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{\pi }{4}+k\pi$, x $=\frac{-\pi }{4}+k\pi$, x = k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3.

Tìm các nghiệm của phương trình tan$\left(x-\frac{\pi }{9}\right)$= tan$\frac{5\pi }{9}$ trong khoảng (–$\pi$; $\pi$).

Hướng dẫn giải

tan$\left(x-\frac{\pi }{9}\right)$= tan$\frac{5\pi }{9}$$\iff$ x – $\frac{\pi }{9}$= $\frac{5\pi }{9}$ + k$\pi$$\iff$ x $=\frac{2\pi }{3}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vì x ∈ (–$\pi$; $\pi$) nên –$\pi$ < $\frac{2\pi }{3}+k\pi$ < $\pi$. Do đó: $\frac{-5}{3}$< k < $\frac{1}{3}$.

Mà k ∈ $\mathbb{Z}$ nên k ∈ {–1; 0}. Do đó, x $=\frac{2\pi }{3}$; x = $\frac{-\pi }{3}$.

Vậy với x $=\frac{2\pi }{3}$; x = $\frac{-\pi }{3}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về phương trình tanx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) tan3x = tan45^o.

b) tan2x = tan$\frac{7\pi }{5}$.

c) tan(3x + $\pi$) = tanx.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) tan5x – $\sqrt{3}$= 0.

b) tan$\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$ = 0.

c) tan³x + tan²x = 0.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) tan$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ – cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$= 0

b) $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ – 2tan²x = 0.

Bài 4. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng ($\pi$; 3$\pi$)?

a) $\sqrt{3}$tan$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = 1.

b) tan2x = cotx

Bài 5. Một quả đạn được bắn ra khỏi nòng với vận tốc ban đầu v_o = 600m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn được bắn ra từ mặt đất thì có quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_o^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$, ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến vị trí chạm đất của quả đạn).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình cosx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

• Cách cho một dãy số

• Cấp số cộng là gì

---