Phương trình cotx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình cotx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình cotx = m.

1. Phương trình cotx = m

Phương trình cotx = m có nghiệm với mọi m.

Với mọi m $\in ℝ$, tồn tại duy nhất α ∈ (0; $\pi$) thỏa mãn cotα = m. Khi đó

cotx = m $\iff$ cotx = cotα $\iff$ x = α + k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì:

cotx = cotα^o $\iff$ x = α^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình cotx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) cotx = cot55^o.

b) cot2x = cot$\left(x-\frac{4\pi }{5}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) cotx = cot55^o $\iff$ x = 55^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 55^o + k180^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cot2x = cot$\left(x-\frac{4\pi }{5}\right)$$\iff$ 2x = x – $\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$ , x = –$\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = –$\frac{4\pi }{5}$+ k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) cot3x + 1= 0.

b) cot4x + 2 = 0.

c) cot²x – $\sqrt{3}$cotx = 0.

Hướng dẫn giải

a) cot3x + 1= 0 $\iff$ cot3x = –1 $\iff$ cot3x = tan$\frac{-\pi }{4}$$\iff$ 3x $=\frac{-\pi }{4}+k\pi$

$\iff$ x $=\frac{-\pi }{12}+k\pi$; k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{-\pi }{12}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cot4x + 2 = 0 $\iff$ cot4x = –2

Gọi α ∈ (0; $\pi$) sao cho cotα = –2. Khi đó ta có:

cot4x = –2 $\iff$ cot4x = cotα $\iff$ 4x = α + k$\pi$$\iff$ x = $\frac{\alpha }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\alpha }{4}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cot²x – $\sqrt{3}$cotx = 0 $\iff$ cotx $\left(\cot x-\sqrt{3}\right)=0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x $=\frac{\pi }{6}+k\pi$, x = $\frac{\pi }{2}$ + k$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3.

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình cot$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$= cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ thuộc ($\pi$;4$\pi$).

Hướng dẫn giải

cot$\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$= cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ $\iff$ 2x – $\frac{\pi }{6}$= x – $\frac{\pi }{3}$ + k$\pi$$\iff$ x $=\frac{-\pi }{6}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$

Vì x ∈ ($\pi$; 4$\pi$) nên $\pi$ < $=\frac{-\pi }{6}+k\pi$ < 4$\pi$. Do đó: $\frac{7}{6}$ < k < $\frac{25}{6}$.

Mà k ∈ $\mathbb{Z}$ nên k ∈ {2; 3; 4}. Do đó, x $=\frac{11\pi }{6}$; x = $\frac{17\pi }{6}$; x = $\frac{23\pi }{6}$.

Vậy với x $=\frac{11\pi }{6}$; x = $\frac{17\pi }{6}$; x = $\frac{23\pi }{6}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về phương trình cotx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) cot2x = cot60^o.

b) cot$\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ = cot$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) cot5x = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

b) 2cot4x + 6 = 0.

c) 2cot²x + $\sqrt{3}$cotx = 0.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) tan$\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ – cot$\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$= 0

b) $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ – 3cot²x = 0.

Bài 4. Có bao nhiêu nghiệm của các phương trình sau thuộc khoảng (–2$\pi$; $\pi$)?

a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$cot$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ = –1.

b) cot$\left(x-\frac{\pi }{5}\right)$– cot$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ = 0.

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) $\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-\cot x=2$.

b) tan²x + $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình tanx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

• Cách cho một dãy số

• Cấp số cộng là gì

• Cấp số nhân là gì

---