Cấp số cộng là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Cấp số cộng là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết cấp số cộng.

1. Nhận biết cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng (u_n) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

u_n = u_{n – 1} + d với n ≥ 2.

Nhận xét: Nếu (u_n) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\left(k\ge 2\right)$.

2. Ví dụ minh họa về nhận biết cấp số cộng

Ví dụ 1. Tìm cấp số cộng trong các dãy số sau:

a) 1; –1; 1; –1; 1.

b) 1; 2; 3; 4; 5; 6.

c) 2; 2; 2; 2; 2.

d) 1; 2; 4; 8; 16.

Hướng dẫn giải

a) Dãy số không là cấp số cộng.

b) Vì 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1 nên dãy số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là cấp số cộng.

c) Vì 2 = 2 + 0 nên dãy số 2; 2; 2; 2; 2 là một cấp số cộng.

d) Vì 2 = 1 + 1, 4 = 2 + 2, mà 1 ≠ 2 nên dãy số đã cho không là cấp số cộng.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 5, công sai d = 2. Viết bốn số hạng đầu của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Bốn số hạng đầu của cấp số cộng là:

u₁ = 5; u₂ = u₁ + d = 7; u₃ = u₂ + d = 9; u₄ = u₃ + d = 11.

Vậy 4 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là: u₁ = 5; u₂ = 7; u₃ = 9; u₄ = 11.

Ví dụ 3. Cho dãy số (u_n) với u_n = 6n + 5. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của nó.

Hướng dẫn giải

Ta có: u_n – u_{n – 1} = 6n + 5 – [6(n – 1) + 5] = 6, với mọi n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 6.1 + 5 = 11 và công sai d = 6.

3. Bài tập về nhận biết cấp số cộng

Bài 1. Tìm cấp số cộng trong các dãy số sau:

a) 1; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$;$\frac{1}{16}$.

b) 17; 14; 11; 8; 5; 2.

c) 10; 20; 30; 40; 50.

d) 5; 15; 25; 35; 45.

Bài 2. Trong các hệ thức truy hồi sau đây, hệ thức nào là một cấp số cộng?

a) u_n = u_{n – 1} + 6 với n ≥ 2.

b) u_n = u_{n – 1} – 12 với n ≥ 2.

c) u_n = 12u_{n – 1} – 12 với n ≥ 2.

d) u_n = $\frac{1}{6}$u_{n – 1} – n với n ≥ 2.

Bài 3. Chứng minh rằng các dãy số (u_n) sau là một cấp số cộng. Chỉ ra số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

a) u_n = 12n + 8.

b) u_n = 2,5n – 1,5.

Bài 4. Cho x, 4, 2x – 1 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm x.

Bài 5. Một tam giác có số đo ba góc viết theo thứ tự tăng dần tạo thành một cấp số cộng có công sai bằng 15 độ. Tính số đo ba góc của tam giác đó.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cách cho một dãy số

• Cấp số nhân là gì

• Mẫu số liệu ghép nhóm là gì

• Ghép nhóm mẫu số liệu là gì

• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

• Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

---