Phương trình cosx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình cosx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình cosx = m.

1. Phương trình cosx = m

Xét phương trình cosx = m.

+ Nếu |m| > 1 thì phương trình phương trình.

+ Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ và x = –α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$,

với α là góc thuộc [0; p] sao cho cosα = m.

* Một số trường hợp đặc biệt:

+ cosx = 1 $\iff$ $x=k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = –1 $\iff$ $x=\pi +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = 0 $\iff$ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nhận xét:

+ cosu = cosv $\iff$ u = v + $k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc u = –v + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ cosx = cosa^o $\iff$ x = a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc x = –a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình cosx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) cosx = cos15^o.

b) cosx = cos$\frac{3\pi }{5}$.

c) cos6x = cos2x.

Hướng dẫn giải

a) cosx = cos15^o .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 15^o + k360^o; x = –15^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cosx = cos$\frac{3\pi }{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{3\pi }{5}+k2\pi$; x = $-\frac{3\pi }{5}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cos6x = cos2x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) 2cos3x – $\sqrt{3}$ = 0.

b) 4cos4x = 3.

c) cos5x + 10 = 0.

d) cos5x + cos(–3x) = 0.

Hướng dẫn giải

a) 2cos3x – $\sqrt{3}$ = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$; x = $\frac{-\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) 4cos4x = 3 $\iff$ cos4x $=\frac{3}{4}$

Gọi α ∈ [0; $\pi$] sao cho cosα $=\frac{3}{4}$. Khi đó ta có:

cos4x $=\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\alpha +k2\pi$; x = $-\alpha +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) cos5x + 10 = 0 $\iff$ cos5x = –10.

Vì –10 < –1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

d) cos5x + cos(–3x) = 0 $\iff$ 2cosx.cos4x = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{2}+k\pi$; x =$\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) cos6x – sin2x = 0.

b) cos²xsinx – sin²xcosx = 0.

Hướng dẫn giải

a) cos6x – sin2x = 0 $\iff$ cos6x = sin2x $\iff$ cos6x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$; x = $\frac{-\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) cos²xsinx – sin²xcosx = 0 $\iff$ sinxcosx(sinx – cosx) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{k\pi }{2}$; x = $\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

3. Bài tập về phương trình cosx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) cosx = cos128^o.

b) cosx = cos$\frac{\pi }{9}$.

c) cos(x + 3) = cos2x.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 2cosx + $\sqrt{3}$ = 0.

b) cosx – $\frac{14}{15}$= 0.

c) 3cos10x + 10 = 0.

d) cos3x + cos(–11x) = 0.

Bài 3. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) 4cos³x – 3cos²x = 0.

b) 2sin$\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ + sin²x = 0.

Bài 4. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau sao cho:

a) 2cos$\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$ = $\sqrt{3}$ và x ∈ [$\pi$; 4$\pi$].

b) sin$\left({90}^o-3x\right)$ = cos6x và x ∈ (45^o; 360^o).

Bài 5. Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x = 4cos$\left(3t-\frac{\pi }{3}\right)$. Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng từ 0 đến 8 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình sinx = m

• Phương trình tanx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

• Cách cho một dãy số

---