Phương trình sinx = m lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Phương trình sinx = m lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình sinx = m.

1. Phương trình sinx = m

• Xét phương trình sinx = m.

+ Nếu |m| > 1 thì phương trình sinx = m vô nghiệm.

+ Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ và x = $\pi$ – α + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$,

với α là góc thuộc sao cho sinα = m.

* Một số trường hợp đặc biệt:

+ sinx = 1 $\iff$ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = –1 $\iff$ $x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = 0 $\iff$ $x=k\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Nhận xét:

+ sinu = sinv $\iff$ u = v + $k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc u = $\pi$ – v + k2$\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

+ sinx = sina^o $\iff$ x = a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$ hoặc x = 180^o – a^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình sinx = m

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) sinx = sin 50^o.

b) sinx = sin$\frac{\pi }{16}$.

c) sin2x = sinx.

Hướng dẫn giải

a) sinx = sin 50^o

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 50^o + k360^o; x = 130^o + k360^o, k ∈ $\mathbb{Z}$.

d) sinx = sin$\frac{\pi }{16}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{16}+k2\pi$; x = $\frac{15\pi }{16}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) sin2x = sinx

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $k2\pi$; x = $\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) –sinx + $\frac{1}{2}$ = 0.

b) sinx = $\frac{1}{5}$.

c) sin7x + 3 = 0.

d) cos5x – cos(–3x) = 0.

Hướng dẫn giải

a) –sinx + $\frac{1}{2}$ = 0 $\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$; x = $\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

b) Gọi α ∈ sao cho sinα =$\frac{1}{5}$. Khi đó ta có:

sinx = $\frac{1}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\alpha +k2\pi$; x = $\pi -\alpha +k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

c) sin7x + 3 = 0 $\iff$ sin7x = –3. Vì –3 < –1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

d) cos5x – cos(–3x) = 0 $\iff$ –2sinx.sin4x = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{k\pi }{4}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) sin2x – cos4x = 0.

b) cos²x – sin²x = 0.

Hướng dẫn giải

a) sin2x – cos4x = 0 $\iff$ sin2x – 1 + 2sin²2x = 0 $\iff$ (sinx + 1)(2sinx – 1) = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{-\pi }{2}+k2\pi$; x = $\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ $\mathbb{Z}$

b) cos²x – sin²x = 0 $\iff$ cos2x = 0 $\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ = 0

$\iff \frac{\pi }{2}-2x=k\pi \iff x=\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

Vì nên ta có thể viết:

cos²x – sin²x = 0 $\iff x=\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = $\frac{-\pi }{4}-\frac{k\pi }{2}$, k ∈ $\mathbb{Z}$.

3. Bài tập về phương trình sinx = m

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) sinx = sin106^o.

b) sinx = sin$\frac{3\pi }{19}$.

c) sin(2x + 1) = sinx.

Bài 2. Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) $\sqrt{2}$sinx + 1 = 0.

b) sinx = $\frac{7}{15}$.

c) sin7x + 8 = 0.

d) cos4x – cos(–6x) = 0.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) cos²x – 2sinx – 1 = 0.

b) cos$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ – sinx = 0.

Bài 4. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng $\left(-{90}^o;{270}^o\right)$?

a) 2sin$\left(x-{90}^o\right)$= –1.

b) sin$\left(x-{25}^o\right)$ = cos60^o.

Bài 5. Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động bởi công thức h(t) = 45 + 30sin$\left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 60 lần đầu tiên?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai phương trình tương đương là gì

• Phương trình cosx = m

• Phương trình tanx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

• Dãy số hữu hạn là gì

---