Hai phương trình tương đương là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Hai phương trình tương đương là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm hai phương trình tương đương.

1. Khái niệm hai phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f₁(x) = g₁(x) tương đương với phương trình f₂(x) = g₂(x) thì ta viết f₁(x) = g₁(x) $\iff$ f₂(x) = g₂(x).

• Chú ý:

+ Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

+ Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

+ Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

• Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

f(x) = g(x) $\iff$ f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

• Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0: f(x) = g(x) $\iff$ f(x)h(x) = g(x)h(x) (h(x) ≠ 0).

2. Ví dụ minh họa về hai phương trình tương đương

Ví dụ 1. Hai phương trình x – 4 = 0 và x² – 8x + 16 = 0 có tương đương không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình x – 4 = 0 là S₁ = {4}.

Tập nghiệm của phương trình x² – 8x + 16 = 0 là S₂ = {4}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình x – 4 = 0 và x² – 8x + 16 = 0 tương đương.

Ví dụ 2. Cho các phương trình:

(x + 6)(x – 6) = 0; x² – 36 = 0; 6x – 36 = 0; 6x + 36 = 0; x² – 12x + 36 = 0.

Chỉ ra các phương trình tương đương với nhau.

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình 6x + 36 = 0 là S = {–6}.

Tập nghiệm của phương trình (x + 6)(x – 6) = 0 là S₁ = {6; –6}.

Tập nghiệm của phương trình x² – 36 = 0 là S₂ = {6; –6}.

Do đó, hai phương trình (x + 6)(x – 6) = 0 và x² – 36 = 0 tương đương với nhau.

Tập nghiệm của phương trình 6x – 36 = 0 là S₃ = {6}.

Tập nghiệm của phương trình x² – 12x + 36 = 0 là S₄ = {6}.

Do đó, hai phương trình 6x – 36 = 0 và x² – 12x + 36 = 0 tương đương với nhau.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

a) x² – 6x + 8 = x² – 2x.

b) x² – 4x = –4.

Hướng dẫn giải

a) x² – 6x + 8 = x² – 2x $\iff$ x² – 6x + 8 – (x² – 2x) = 0 $\iff$ –4x + 8 = 0 $\iff$ x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2}.

b) x² – 4x = –4 $\iff$ x² – 4x + 4 = 0 $\iff$ (x – 2)² = 0 $\iff$ x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2}.

3. Bài tập về khái niệm hai phương trình tương đương

Bài 1. Phương trình 16 – x² = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

(x – 4)(x + 4) = 0; $\frac{16-x^2}{x-4}=0$; $\sqrt{x^2-16}=0$; 4 – x = 0.

Bài 2. Chỉ ra lỗi sai trong phép biến đổi phương trình dưới đây:

a) x³ = 4x $\iff$$\frac{x^3}{x}=4$ $\iff$x² = 4 $\iff$ x = 2 hoặc x = – 2.

b) $\sqrt{4x-4}=-x$ $\iff$ 4x – 4 = x² $\iff$ x² – 4x + 4 = 0 $\iff$ (x – 2)² = 0 $\iff$ x = 2.

Bài 3. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được 2 phương trình tương đương:

Cột A	Cột B
1. 8x – 8 = 0	a. (x – 7)(x + 7) = 0
2. x2 = 49	b. x – 2 = 0
3. x3 – 8 = 0	c. x2 + 6x – 3 = x2 + 5x – 3
4. 7 – x = 7	d. 1 – x = 0

Bài 4. Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

a) $\frac{x-12}{x+12}=0$ và x² – 144 = 0.

b) $\sqrt{25-x^2}=0$ và (5 – x)(x + 5) = 0.

Bài 5. Giải phương trình:

a) 4x + 6 = –3x + 5.

b) (x – 5)² – (7 – 3x)² = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đồ thị và tính chất hàm cot

• Phương trình sinx = m

• Phương trình cosx = m

• Phương trình tanx = m

• Phương trình cotx = m

• Dãy số vô hạn là gì

---