Đồ thị và tính chất hàm cos lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đồ thị và tính chất hàm cos lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đồ thị và tính chất hàm cos.

1. Đồ thị và tính chất hàm cos

• Đồ thị của hàm số y = cosx:

• Tính chất của hàm số y = cosx:

+ Có tập xác định là $ℝ$ và tập giá trị là [–1; 1].

+ Là hàm số chẵn, có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

+ Tuần hoàn với chu kì 2$\pi$.

+ Đồng biến trên mỗi khoảng (–$\pi$ + k2$\pi$; k2$\pi$) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2$\pi$; $\pi$ + k2$\pi$) với $k\in \mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa về đồ thị và tính chất hàm cos

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = cosx như hình vẽ:

Từ đồ thị trên, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[\frac{-5\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right]$ để hàm số trên:

a) Nhận giá trị bằng 0.

b) Nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

a) Từ đồ thị trên, suy ra trên đoạn $\left[\frac{-5\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right]$, y = 0 khi x = $\frac{-5}{2}\pi$ và x = $\frac{-\pi }{2}$.

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[\frac{-5\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right]$, y > 0 khi x ∈ $\left(\frac{-5}{2}\pi ;\frac{-3\pi }{2}\right)$.

Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số:

a) y = $\frac{1}{2}$cosx.

b) y = –4cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Vì –1 ≤ cosx ≤ 1 nên $\frac{-1}{2}$ ≤ $\frac{1}{2}$cosx ≤ $\frac{1}{2}$với mọi x ∈$ℝ$.

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right]$.

b) Vì –1 ≤ cos2x ≤ 1 nên –4 ≤ –4cos2x ≤ 4 với mọi x ∈$ℝ$.

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn [–4; 4].

Ví dụ 3. Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{13\pi }{3};\frac{14\pi }{3}\right)$?

Hướng dẫn giải

Vì $\left(\frac{13\pi }{3};\frac{14\pi }{3}\right)=\left(\frac{\pi }{3}+4\pi ;\frac{2\pi }{3}+4\pi \right)$ nên hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{13\pi }{3};\frac{14\pi }{3}\right)$.

3. Bài tập về đồ thị và tính chất hàm cos

Bài 1. Có bao nhiêu giá trị α thuộc đoạn [–$\pi$; 2$\pi$] để hàm số y = cosα có giá trị bằng $\frac{1}{2}$?

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = –cosx.

b) y = $\frac{2}{3}$cosx + 5.

b) y = 2cos²x + 4.

c) y = 8 – 4cos²x.

Bài 3. Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (–6$\pi$; –5$\pi$)?

Bài 4. Từ đồ thị hàm số y = cosx, xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[\frac{-5\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng 0.

b) Nhận giá trị âm.

Bài 5. Trong Vật lí, ta biết phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–$\pi$; $\pi$] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kì T $=\frac{2\pi }{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = 6cos5$\pi$t (cm).

a) Xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 3 giây. Hỏi trong khoảng thời gian 3 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đồ thị và tính chất hàm sin

• Đồ thị và tính chất hàm tan

• Đồ thị và tính chất hàm cot

• Hai phương trình tương đương là gì

• Phương trình sinx = m

• Phương trình cosx = m

---