13 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

$\iff -\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

$\iff -\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}\right)+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MB}$.

Vì M là trung điểm AC nên AM = $\frac{AC}{2}$ = 2.

Tam giác ABM vuông tại A: BM² = AB² + AM² (Định lý Pytago)

⇔ BM² = 3² + 2² = 13

$\Rightarrow BM=\sqrt{13}$

Ta suy ra $\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\right)=\left(2\overrightarrow{MB}\right)=2.MB=2\sqrt{13}$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AE}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Từ đẳng thức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, suy ra $\left(\overrightarrow{AB}\right)=\left(-3\overrightarrow{AC}\right)$, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC.

Ta suy ra $OA=\frac{1}{2}CA$.

Mà $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{CA}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)$ ⇒ B đúng.

Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$.

Mà $\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}$ là hai vectơ đối nhau.

Do đó $2\overrightarrow{OI}\ne 2\overrightarrow{OJ}$.

Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ ⇒ C sai.

Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}=2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}$ ⇒ D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\iff 2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó ta suy ra M là trung điểm IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có $4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$

$\iff 4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Suy ra M là trung điểm AC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm BC. Ta suy ra BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Vì H là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(2\overrightarrow{AH}\right)=2AH$.

Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến.

Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABH vuông tại H: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{H}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=2AH=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm AB. Ta suy ra $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$.

Ta có $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)$

$\iff \left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{BA}\right)$

$\iff \left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=BA$

$\iff \left(2\overrightarrow{CI}\right)=AB$

⇔ 2.CI = AB

$\iff CI=\frac{1}{2}AB$

Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền).

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ (với I là trung điểm AB).

Do đó $\overrightarrow{v}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Khi đó $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CI}$.

Suy ra I là trung điểm CD.

Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

Vậy ta chọn đáp án B.

a) Đúng. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

b) Đúng. Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$. (1)

d) Đúng. Ta lại có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$. (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

$2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}\right)$.

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.

Xét $△ABC$ vuông tại $B$ có:

$\tan A=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \tan A$$=a\tan 30°$$=\frac{a\sqrt{3}}{3}$,

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{AM}\right|=2\left|\overrightarrow{AM}\right|$$=2AM=2\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}$

$=2\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{39}}{3}.$

Vậy $m=39$.

Đáp án: 39.

Ta có $\overrightarrow{F_2}=-2{\overrightarrow{F}}_1$.

Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng $\overrightarrow{0}$

$\iff {\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4=\overrightarrow{0}$

$\iff {\overrightarrow{F}}_1-2{\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{F_3}+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1$

Đặt ${\overrightarrow{F}}_1=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB},{\overrightarrow{F}}_3=\overrightarrow{OC},$$\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{OD}$.

Ta có ${\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1\iff \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}$. Do đó $OCAD$ là hình bình hành.

Mặt khác $OC=OD=20$ và $\widehat{COD}=45°+45°=90°$ nên $OCAD$ là hình vuông.

Khi đó

$\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=OA=20\sqrt{2}\text{N},\left|\overrightarrow{F_2}\right|$$=2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|$$=40\sqrt{2}\text{N}\approx \text{56,6 N.}$